《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

11. 已知函数 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 的图象如图所示,则下列结论正确的为 (BC)


A.实线是 $f(x)$ 的图象,虚线是 $f'(x)$ 的图象
B.实线是 $f'(x)$ 的图象,虚线是 $f(x)$ 的图象
C.不等式组 $\begin{cases}f(x)＞f'(x)\\0＜x＜4\end{cases}$ 的解集为 $(0,\frac{2}{3})$
D.不等式组 $\begin{cases}f(x)＞f'(x)\\0＜x＜4\end{cases}$ 的解集为 $(1,\frac{4}{3})$

答案： 11.BC 结合图象，若虚线是$f^{\prime}(x)$的图象，则当$x \in (0,2)$时，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，则$f(x)$在$(0,2)$上单调递减，与实线中$f(x)$在$(0,2)$上不单调矛盾，不满足题意，故实线为$f^{\prime}(x)$的图象，虚线为$f(x)$的图象，故A不正确，B正确；由图象知不等式组$\begin{cases} f(x) ＞ f^{\prime}(x) \\0 ＜ x ＜ 4 \end{cases}$的解集为$(0,\frac{2}{3})$，故C正确，D不正确. 故选BC.

12. 函数 $f(x)=\ln x - \frac{x}{1 + 2x}$ 在定义域内为增函数(填“增”或“减”).

答案： 12.解析：由已知得$f(x)$的定义域为$(0, +\infty)$.
$\because f(x) = \ln x - \frac{x}{1 + 2x}$，
$\therefore f^{\prime}(x) = \frac{1}{x} - \frac{1 + 2x - 2x}{(1 + 2x)^{2}} = \frac{4x^{2} + 3x + 1}{x(1 + 2x)^{2}}$.
$\because x ＞ 0$，$\therefore 4x^{2} + 3x + 1 ＞ 0,x(1 + 2x)^{2} ＞ 0$.
$\therefore$当$x ＞ 0$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$. $\therefore f(x)$在$(0, +\infty)$内为增函数.
答案：增

13. 若 $y = x + \frac{a^2}{x}(a＞0)$ 在 $[2,+\infty)$ 上是增函数,则 $a$ 的取值范围是(0,2].

答案： 13.解析：由$y^{\prime} = 1 - \frac{a^{2}}{x^{2}} \geq 0$，得$x \leq -a$或$x \geq a$.
$\therefore y = x + \frac{a^{2}}{x}$的单调递增区间为$(-\infty, -a]$，$[a, +\infty)$.
$\because$函数在$[2, +\infty)$上单调递增，
$\therefore [2, +\infty) \subseteq [a, +\infty)$，$\therefore a \leq 2$.
又$a ＞ 0$，$\therefore 0 ＜ a \leq 2$.
答案：$(0,2]$

14. 已知函数 $y = f(x)(x\in\mathbf{R})$ 的图象如图所示,则不等式 $xf'(x)\geqslant0$ 的解集为[0,\frac{1}{2}] \cup [2, +\infty).

答案： 14.解析：由$f(x)$图象特征可得，在$(-\infty,\frac{1}{2}]$和$[2, +\infty)$上$f^{\prime}(x) \geq 0$，在$(\frac{1}{2},2)$上$f^{\prime}(x) ＜ 0$，
所以$xf^{\prime}(x) \geq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq 0, \\ f^{\prime}(x) \geq 0 \end{cases}$或$\begin{cases} x \leq 0, \\ f^{\prime}(x) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow$
$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$或$x \geq 2$，所以$xf^{\prime}(x) \geq 0$的解集为$[0,\frac{1}{2}] \cup [2, +\infty)$.
答案：$[0,\frac{1}{2}] \cup [2, +\infty)$

15. (13 分)求下列函数的单调区间.
(1) $f(x)=x^2· e^{-x}$;
(2) $f(x)=x + \frac{1}{x}$.

答案： 15.解：
(1)易知函数的定义域为$(-\infty, +\infty)$.
$f^{\prime}(x) = (x^{2})^{\prime}e^{-x} + x^{2}(e^{-x})^{\prime} = 2xe^{-x} - x^{2}e^{-x} = e^{-x} · (2x - x^{2})$，
令$f^{\prime}(x) = 0$，得$x = 0$或$x = 2$，
当$x$变化时，$f^{\prime}(x),f(x)$的变化情况如下表：
$x$ $(-\infty,0)$ $0$ $(0,2)$ $2$ $(2,+\infty)$
$f^{\prime}(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$
$f(x)$ 单调递减 $f(0)$ 单调递增 $f(2)$ 单调递减
$\therefore f(x)$的单调递减区间为$(-\infty,0)$和$(2, +\infty)$，单调递增区间为$(0,2)$.
(2)易知函数的定义域为$(-\infty,0) \cup (0, +\infty)$，且$f^{\prime}(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$，
令$f^{\prime}(x) = 0$，得$x = -1$或$x = 1$，
当$x$变化时，$f^{\prime}(x),f(x)$的变化情况如下表：
$x$ $(-\infty,-1)$ $-1$ $(-1,0)$ $(0,1)$ $1$ $(1,+\infty)$
$f^{\prime}(x)$ $+$ $0$ $-$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ 单调递增 $f(-1)$ 单调递减 单调递减 $f(1)$ 单调递增
$\therefore$函数$f(x)$的单调递减区间为$(-1,0)$和$(0, 1)$，单调递增区间为$(-\infty,-1)$和$(1, +\infty)$.