《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

9. 下列四个选择中，不正确的是(ACD)

A.数列$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{5}{6}$，$·s$的一个通项公式是$a_{n}=\frac{n}{n + 1}$
B.数列的图象是一群孤立的点
C.数列$1$，$-1$，$1$，$-1$，$·s$与数列$-1$，$1$，$-1$，$1$，$·s$是同一数列
D.数列$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$·s$，$\frac{1}{2n}$是递增数列

答案： 9.ACD 由通项公式知$a_1 = \frac{1}{2}$，故A不正确；易知B正确；由于两数列中数的排列次序不同，因此不是同一数列，故C不正确；D中的数列为递减数列，所以D不正确.

10. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项为$a_{n}=\frac{4}{11 - 2n}$，则下列$n$的值中满足$a_{n}\lt a_{n + 1}$的有(ABD)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 10.ABD 由题意，数列$\{a_n\}$的通项为$a_n = \frac{4}{11 - 2n}$可得$a_3 = \frac{4}{5}$，$a_4 = \frac{4}{3}$，$a_5 = 4$，$a_6 = -4$，$a_7 = -\frac{4}{3}$，显然$a_3 ＜ a_4 ＜ a_5$，$a_6 ＜ a_7$，但$a_5 ＞ a_6$.故满足$a_n ＜ a_{n + 1}$的$n$的值有$3, 4, 6$.

11. 意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：$1$，$1$，$2$，$3$，$5$，$8$，$13$，$·s$，即从第三项开始，每一项都是它前两项的和。后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列。下面关于斐波那契数列$\{ a_{n}\}$说法正确的是(AC)

A.$a_{10}=55$
B.$a_{2024}$是偶数
C.$3a_{2022}=a_{2020}+a_{2024}$
D.$a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s +a_{2022}=a_{2024}$

答案： 11.AC 由题设知：数列$\{a_n\}$的前$10$项为：$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55$，$\therefore a_{10} = 55$，故选项A正确；由该数列的性质可得，只有$3$的倍数项是偶数，故选项B错误；$a_{2020} + a_{2024} = a_{2020} + a_{2023} + a_{2022} = a_{2020} + a_{2021} + a_{2022} + a_{2022} = 3a_{2022}$，故选项C正确；$a_{2024} = a_{2023} + a_{2022}$，$a_{2023} = a_{2022} + a_{2021}$，$a_{2022} = a_{2021} + a_{2020}$，$·s$ $a_3 = a_2 + a_1$，$a_2 = a_1$，以上各式相加可得，$a_{2024} + a_{2023} + a_{2022} + ·s + a_2 = a_{2023} + 2(a_{2022} + a_{2021} + a_{2020} + ·s + a_1)$，所以$a_{2024} = a_{2022} + a_{2021} + a_{2020} + ·s + a_2 + 2a_1$，故选项D错误. 故选AC.

12. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}+2n + 1$，则$a_{n}=$。

答案： 12.解析：当$n = 1$时，$a_1 = S_1 = 1 + 2 + 1 = 4$；当$n \geqslant 2$时，$a_n = S_n - S_{n - 1} = 2n + 1$，经检验$a_1 = 4$不适合$a_n = 2n + 1$，故$a_n = \begin{cases} 4 & (n = 1), \\ 2n + 1 & (n \geqslant 2). \end{cases}$
答案：$\begin{cases} 4 & (n = 1), \\ 2n + 1 & (n \geqslant 2) \end{cases}$

13. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=3$，$a_{n + 1}=a_{n}+\frac{1}{n(n + 1)}$，则$a_{2}=$$\frac{7}{2}$，通项公式$a_{n}=$$4 - \frac{1}{n}$。

答案： 13.解析：由已知，$a_2 = a_1 + \frac{1}{1 × 2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.因为$a_{n + 1} - a_n = \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$，以上$(n - 1)$个式子累加可得，$a_n - a_1 = 1 - \frac{1}{n}$，因为$a_1 = 3$，所以$a_n = 4 - \frac{1}{n}$.
答案：$\frac{7}{2} 4 - \frac{1}{n}$

14. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题。其前 10 项依次是$0$，$2$，$4$，$8$，$12$，$18$，$24$，$32$，$40$，$50$，则此数列的第 20 项与 21 项的和为420。

答案： 14.解析：由数列的前$10$项可知，数列的偶数项的通项公式$a_{2n} = 2n^2$，所以$a_{20} = 2 × 10^2 = 200$，奇数项的通项公式$a_{2n - 1} = 2(n - 1)n$，所以$a_{21} = a_{2 × 11 - 1} = 2 × 10 × 11 = 220$，所以$a_{20} + a_{21} = 200 + 220 = 420$.
答案：420

15. （13 分）已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=3$，$a_{n + 1}=4a_{n}+3$。
（1）写出该数列的前 4 项，并归纳出数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）证明：$\frac{a_{n + 1}+1}{a_{n}+1}=4$。

答案： 15.解：
(1)$a_1 = 3$，$a_2 = 15$，$a_3 = 63$，$a_4 = 255$.因为$a_1 = 4^1 - 1$，$a_2 = 4^2 - 1$，$a_3 = 4^3 - 1$，$a_4 = 4^4 - 1$，$·s$，所以归纳得$a_n = 4^n - 1$.
(2)证明：因为$a_{n + 1} = 4a_n + 3$，所以$\frac{a_{n + 1} + 1}{a_n + 1} = \frac{4a_n + 3 + 1}{a_n + 1} = \frac{4(a_n + 1)}{a_n + 1} = 4$.