《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

18. (17 分)等差数列$\{ a_{n}\}$($n\in \mathbf{N}^{*}$)中,$a_{1}$,$a_{2}$,$a_{3}$分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数都不在下表的同一列.

(1)请选择一个可能的$\{ a_{1},a_{2},a_{3}\}$组合,并求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
(2)记(1)中您选择的$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$,判断是否存在正整数$k$,使得$a_{1}$,$a_{k}$,$S_{k + 2}$成等比数列,若有,请求出$k$的值;若没有,请说明理由.

答案： 解：
(1)由题意可知，有两种组合满足条件：①$a_{1}=8,a_{2}=12,a_{3}=16$，此时等差数列$\{a_{n}\},a_{1}=8,d=4$，所以其通项公式为$a_{n}=8+(n-1)×4=4n+4$；②$a_{1}=2,a_{2}=4,a_{3}=6$，此时等差数列$\{a_{n}\},a_{1}=2,d=2$，所以其通项公式为$a_{n}=2n$.
(2)若选择①，$S_{n}=\frac{n(8+4n+4)}{2}=2n^{2}+6n$.则$S_{k+2}=2(k+2)^{2}+6(k+2)=2k^{2}+14k+20$.若$a_{1},a_{k},S_{k+2}$成等比数列，则$a_{k}^{2}=a_{1}· S_{k+2}$，即$(4k+4)^{2}=8(2k^{2}+14k+20)$，整理得$5k=-9$，此方程无正整数解，故不存在正整数$k$，使$a_{1}$，$a_{k},S_{k+2}$成等比数列.若选择②，$S_{n}=\frac{n(2+2n)}{2}=n^{2}+n$，则$S_{k+2}=(k+2)^{2}+(k+2)=k^{2}+5k+6$，若$a_{1},a_{k},S_{k+2}$成等比数列，则$a_{k}^{2}=a_{1}· S_{k+2}$，即$(2k)^{2}=2(k^{2}+5k+6)$，整理得$k^{2}-5k-6=0$，因为$k$为正整数，所以$k=6$.故存在正整数$k=6$，使$a_{1},a_{k},S_{k+2}$成等比数列.

19. (17 分)西部某地为了践行“绿水青山就是金山银山”,积极改造荒山,进行植树造林活动,并适当砍伐一定林木出售以增加群众收入.当地$2024$年年末有林区和荒山共$2$千平方公里,其中荒山$1.5$千平方公里,打算从$2025$年起每年年初将上年荒山(含上年砍伐的林区面积)的$16\%$植树绿化,年末砍伐上年年末共有林区面积的$4\%$以创收.记$2025$年为第一年,$a_{n}$为第$n$年年末林区面积(单位:千平方公里).
(1)确定$a_{n}$与$a_{n - 1}$的递推关系(即把$a_{n}$用$a_{n - 1}$表示);
(2)证明:数列$\{ a_{n}-1.6\}$是等比数列,并求$a_{n}$;
(3)经过多少年,该地当年年末的林区面积首次超过$1.2$千平方公里?

答案： 解：
(1)$a_{1}=1.5×16\%+0.5×(1-4\%)=0.72$，$a_{n}=(2-a_{n-1})×16\%+a_{n-1}×(1-4\%)=0.8a_{n-1}+0.32$，$\therefore a_{n}=0.8a_{n-1}+0.32(n\geqslant2)$.
(2)证明：$a_{n}-1.6=0.8a_{n-1}+0.32-1.6=0.8(a_{n-1}-1.6)$，$\therefore\frac{a_{n}-1.6}{a_{n-1}-1.6}=0.8$且$a_{1}-1.6=-0.88\neq0$，$\therefore$数列$\{a_{n}-1.6\}$是以$0.8$为公比的等比数列，$\therefore a_{n}-1.6=(a_{1}-1.6)×0.8^{n-1}$，即$a_{n}=1.6-1.1×0.8^{n}$.
(3)由
(2)知$a_{n}=1.6-1.1×0.8^{n}＞1.2$，解得$0.8^{n}＜\frac{4}{11}$，当$n=4$时，$0.8^{4}=0.4096＞\frac{4}{11}$，当$n=5$时，$0.8^{5}=0.32768＜\frac{4}{11}$，$\therefore$经过$5$年，该地当年年末的林区面积首次超过$1.2$千平方公里.