《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. (15 分)已知函数 $ f(x)=\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{x - a},a\in\mathbf{R} $,试讨论函数 $ f(x) $ 的零点个数.

答案： 16.解:函数$f(x)$的定义域为$\{x|x \neq a\}$.
(1)当$x ＞ a$时,$e^{x} ＞ 0$,$x - a ＞ 0$,
$\therefore f(x) ＞ 0$,
即$f(x)$在$(a,+\infty)$上无零点.
(2)当$x ＜ a$时,$f(x)=\frac{e^{x}(x - a)+1}{x - a}$,
令$g(x)=e^{x}(x - a)+1$,
则$g'(x)=e^{x}(x - a + 1)$.
由$g'(x)=0$得$x = a - 1$.
当$x ＜ a - 1$时,$g'(x) ＜ 0$;
当$x ＞ a - 1$时,$g'(x) ＞ 0$,
$\therefore g(x)$在$(-\infty,a - 1)$上单调递减,在$(a - 1,a)$上单调递增,
$\therefore g(x)_{\min}=g(a - 1)=1 - e^{a - 1}$.
$\therefore$当$a = 1$时,$g(a - 1)=0$,
则$x = a - 1$是$f(x)$的唯一零点;
当$a ＜ 1$时,$g(a - 1)=1 - e^{a - 1} ＞ 0$,
则$f(x)$没有零点;
当$a ＞ 1$时,$g(a - 1)=1 - e^{a - 1} ＜ 0$,则$f(x)$有
两零点.

17. (15 分)已知函数 $ f(x)=\ln x+\frac{a}{x} $.
(1) 当 $ a\lt0 $ 时,求函数 $ f(x) $ 的单调区间;
(2) 若函数 $ f(x) $ 在 $[1,\mathrm{e}]$ 上的最小值是 $ \frac{3}{2} $,求 $ a $ 的值.

答案： 17.解:函数$f(x)=\ln x+\frac{a}{x}$的定义域为$(0,+\infty)$,
$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^{2}}=\frac{x - a}{x^{2}}$,
(1)$\because a ＜ 0$,
$\therefore f'(x) ＞ 0$,
故函数在$(0,+\infty)$上单调递增.
$\therefore f(x)$的单调递增区间为$(0,+\infty)$,无单调递
减区间.
(2)当$x \in [1,e]$时,分如下情况讨论:
①当$a \leqslant 1$时,$f'(x) \geqslant 0$,函数$f(x)$单调递增,
其最小值为$f(1)=a \leqslant 1$,这与函数在$[1,e]$上
的最小值是$\frac{3}{2}$相矛盾;
②当$1 ＜ a ＜ e$时,函数$f(x)$在$[1,a)$上有$f'(x)$
$＜ 0$,$f(x)$单调递减,在$(a,e]$上有$f'(x) ＞ 0$,$f(x)$单调递增,
$\therefore$函数$f(x)$的最小值为$f(a)=\ln a + 1$,
由$\ln a + 1 = \frac{3}{2}$,得$a = \sqrt{e}$;
③当$a \geqslant e$时,显然函数$f(x)$在$[1,e]$上单调递
减,其最小值为$f(e)=1+\frac{a}{e} \geqslant 2$,与最小值是
$\frac{3}{2}$相矛盾.
综上所述,$a$的值为$\sqrt{e}$.