《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 若数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=(-1)^{n}(3n - 2)$, 则$a_{1}+a_{2}+·s +a_{2024}=$ (B)

A.1012
B.3036
C.5218
D.6118

答案： 1.B 由$a_n=(-1)^n(3n-2)$，得$a_1+a_2+·s+a_{2024}=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+·s+(-6067+6070)=3+3+·s+3=3×1012=3036$. 故选B.

2. 等比数列$\{ a_{n}\}$各项为正数,$a_{3},a_{5},-a_{4}$成等差数列. 若$S_{n}$为$\{ a_{n}\}$的前$n$项和, 则$\frac{S_{6}}{S_{3}}=$ (C)

A.2
B.$\frac{7}{8}$
C.$\frac{9}{8}$
D.$\frac{5}{4}$

答案： 2.C 设$\{ a_n \}$的公比为$q(q＞0,q\neq1)$，
$\because a_3,a_5,-a_4$成等差数列，$\therefore 2a_1q^4=a_1q^2-a_1q^3$. $\because a_1\neq0,q\neq0$，$\therefore 2q^2+q-1=0$，解得$q=\frac{1}{2}$或$q=-1$(舍去). $\therefore \frac{S_6}{S_3}=1+q^3=\frac{9}{8}$. 故选C.

3. 设$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和,$a_{n}=1 + 2 + 2^{2}+·s + 2^{n - 1}$, 则$S_{n}$的值为 (D)

A.$2^{n}-1$
B.$2^{n - 1}-1$
C.$2^{n}-n - 2$
D.$2^{n + 1}-n - 2$

答案： 3.D $a_n=1+2+2^2+·s+2^{n-1}=\frac{1-2^n}{1-2}=2^n-1$，
则$S_n=(2-1)+(2^2-1)+·s+(2^n-1)=(2+2^2+·s+2^n)-n=\frac{2(1-2^n)}{1-2}-n=2^{n+1}-2-n$. 故选D.

4. 程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉, 赠分八子做盘缠. 次第每人多十七, 要将第八数来言. 务要分明依次弟, 孝和休惹外人传. ”意为 996 斤棉花, 分别赠送给 8 个子女做旅费, 从第一个开始, 以后每人依次多 17 斤, 直到第八个孩子为止. 分配时一定要等级分明, 使子女孝顺的美德外传, 则第八个孩子分得斤数为 (D)

A.65
B.176
C.183
D.184

答案： 4.D 根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列$\{ a_n \}$，其中$d=17$，$n=8$，$S_8=996$.
由等差数列前$n$项和公式可得$8a_1+\frac{8×7}{2}×17=996$，
解得$a_1=65$.
由等差数列通项公式得$a_8=65+(8-1)×17=184$.
则第八个孩子分得斤数为184.

5. 设数列$\{ a_{n}\}(n\in \mathbf{N}^{*})$的各项均为正数, 前$n$项和为$S_{n}$,$\log _{2}a_{n + 1}=1+\log _{2}a_{n}$, 且$a_{3}=4$, 则$S_{6}=$ (D)

A.128
B.65
C.64
D.63

答案： 5.D 因为$\log_2a_{n+1}=1+\log_2a_n$，
所以$\log_2a_{n+1}=\log_22a_n$，即$a_{n+1}=2a_n$，
即数列$\{ a_n \}$是以2为公比的等比数列，
又$a_3=4$，所以$a_1=\frac{a_3}{4}=1$，
因此$S_6=\frac{a_1(1-2^6)}{1-2}=2^6-1=63$. 故选D.

6. 已知正项数列$\{ a_{n}\}$中,$\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}+·s +\sqrt{a_{n}}=\frac{n(n + 1)}{2}(n\in \mathbf{N}^{*})$, 则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为 (B)

A.$a_{n}=n$
B.$a_{n}=n^{2}$
C.$a_{n}=\frac{n}{2}$
D.$a_{n}=\frac{n^{2}}{2}$

答案： 6.B 由题意得$\sqrt{a_n}=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n-1)}{2}=n(n\geq2)$，
又$\sqrt{a_1}=1$也符合上式，
所以$\sqrt{a_n}=n(n\geq1)$，$a_n=n^2$，故选B.

7. 已知数列$\{ a_{n}\}$, 若$a_{n + 1}=a_{n}+a_{n + 2}(n\in \mathbf{N}^{*})$, 则称数列$\{ a_{n}\}$为“凸数列”. 已知数列$\{ b_{n}\}$为“凸数列”, 且$b_{1}=1,b_{2}=-2$, 则数列$\{ b_{n}\}$的前 2024 项和为 (B)

A.-5
B.-1
C.0
D.-4

答案： 7.B 由“凸数列”的定义及$b_1=1,b_2=-2$，得$b_3=-3,b_4=-1,b_5=2,b_6=3,b_7=1,b_8=-2$，
$·s$，数列$\{ b_n \}$是周期为6的周期数列，且$b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6=0$，于是数列$\{ b_n \}$的前2024项和等于$b_1+b_2=-1$.

8. 已知点$(n,a_{n})(n\in \mathbf{N}^{*})$在函数$y = \ln x$的图象上, 若满足$S_{n}=e^{a_{1}}+e^{a_{2}}+·s +e^{a_{n}}\geqslant m$的$n$的最小值为 5, 则$m$的取值范围是 (A)

A.$(10,15]$
B.$(-\infty,15]$
C.$(15,21]$
D.$(-\infty,21]$

答案： 8.A 由于点$(n,a_n)(n\in N^*)$在函数$y=\ln x$的图
象上，则$a_n=\ln n$，则$e^{a_n}=n$，所以，$S_n=e^{a_1}+e^{a_2}+·s+e^{a_n}=1+2+·s+n=\frac{n(n+1)}{2}$，
由于满足$S_n=e^{a_1}+e^{a_2}+·s+e^{a_n}\geq m$的$n$的最
小值为5，则$S_4＜m\leq S_5$，所以$10＜m\leq15$.
因此，实数$m$的取值范围是$(10,15]$. 故选A.