《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

16. (15 分)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$,$a_{n + 1}=\begin{cases}a_{n}+1,n 为奇数,\\a_{n}+2,n 为偶数.\end{cases}$
(1)记$b_{n}=a_{2n}$,写出$b_{1},b_{2}$,并求数列$\{ b_{n}\}$的通项公式;
(2)求$\{ a_{n}\}$的前 20 项和.

答案： 16. 解:
(1) $b_{1}=a_{2}=a_{1}+1 = 2$，$b_{2}=a_{4}=a_{3}+1=a_{2}+2 + 1 = 5$。
因为$2n$为偶数，所以$a_{2n + 1}=a_{2n}+2$，$a_{2n+2}=a_{2n + 1}+1$。
所以$a_{2n+2}=a_{2n}+3$，即$b_{n + 1}=b_{n}+3$，且$b_{1}=2$。
所以$\{b_{n}\}$是以$2$为首项，$3$为公差的等差数列。
所以$b_{n}=3n - 1$。
(2) 当$n$为奇数时，$a_{n}=a_{n + 1}-1$，所以$\{a_{n}\}$的前$20$项和为$a_{1}+a_{2}+·s+a_{20}$
$=(a_{1}+a_{3}+·s+a_{19})+(a_{2}+a_{4}+·s+a_{20})$
$=[(a_{2}-1)+(a_{4}-1)+·s+(a_{20}-1)]+(a_{2}+a_{4}+·s+a_{20})$
$=2(a_{2}+a_{4}+·s+a_{20})-10$。
由
(1)可知，$a_{2}+a_{4}+·s+a_{20}=b_{1}+b_{2}+·s+b_{10}=2×10+\frac{10×9}{2}×3 = 155$。
所以$\{a_{n}\}$的前$20$项和为$2×155-10 = 300$。