《2025年高考领航高中同步测试卷高中数学选择性必修第二册人教版》

18. (17 分)若对任意的 $ x\in[\mathrm{e},+\infty) $,都有 $ x\ln x\geqslant ax - a $,求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 18.解:若对任意的$x \in [e,+\infty)$都有$x\ln x \geqslant$
$ax - a$,等价于$a \leqslant \frac{x\ln x}{x - 1}$在$[e,+\infty)$上恒成立,
令$h(x)=\frac{x\ln x}{x - 1}$,
则$h'(x)=\frac{x - \ln x - 1}{(x - 1)^{2}}$,$x \in [e,+\infty)$,
令$m(x)=x - \ln x - 1$,
则当$x \geqslant e$时,$m'(x)=1-\frac{1}{x} ＞ 0$,
即$m(x)$在$[e,+\infty)$上单调递增,
故$m(x) \geqslant m(e)=e - 2 ＞ 0$,$\therefore h'(x) ＞ 0$,所以
$h(x)=\frac{x\ln x}{x - 1}$在$[e,+\infty)$上单调递增,
$h(x)_{\min}=h(e)=\frac{e}{e - 1}$,所以$a \leqslant \frac{e}{e - 1}$.
即实数$a$的取值范围是$(-\infty,\frac{e}{e - 1}]$.

19. (17 分)已知函数 $ f(x)=2ax-\frac{b}{x}+\ln x $.
(1) 若 $ f(x) $ 在 $ x = 1,x=\frac{1}{2} $ 处取得极值.
① 求 $ a,b $ 的值;
② 若存在 $ x\in[\frac{1}{4},2] $,使得不等式 $ f(x)-c\leqslant0 $ 成立,求 $ c $ 的最小值;
(2) 当 $ a = b $ 时,若 $ f(x) $ 在 $ (0,+\infty) $ 上是单调函数,求 $ a $ 的取值范围.

答案： 19.解:
(1)①函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$,
$f'(x)=2a+\frac{b}{x^{2}}+\frac{1}{x}$.
$\because f(x)$在$x = 1$,$x = \frac{1}{2}$处取得极值,
$\therefore f'(1)=0$,$f'(\frac{1}{2})=0$,
即$\begin{cases}2a + b + 1 = 0,\\2a + 4b + 2 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{3},\\b = -\frac{1}{3}.\end{cases}$
经检验,符合题意.
②若存在$x \in [\frac{1}{4},2]$,使得不等式$f(x)-c \leqslant 0$
成立,则只需$c \geqslant f(x)_{\min}$.
$\because f'(x)=-\frac{2}{3}-\frac{1}{3x^{2}}+\frac{1}{x}=-\frac{2x^{2}-3x + 1}{3x^{2}}=$
$-\frac{(2x - 1)(x - 1)}{3x^{2}}$,
$\therefore$当$x \in [\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$时,$f'(x) \leqslant 0$,函数$f(x)$单调
递减;
当$x \in [\frac{1}{2},1]$时,$f'(x) \geqslant 0$,函数$f(x)$单调
递增;
当$x \in [1,2]$时,$f'(x) \leqslant 0$,函数$f(x)$单调递
减,
$\therefore f(x)$在$x = \frac{1}{2}$处取得极小值,
即$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{3}+\ln\frac{1}{2}=\frac{1}{3}-\ln 2-\ln 2$,
又$f(2)=-\frac{7}{6}+\ln 2$,
且$f(\frac{1}{2})-f(2)=\frac{3}{2}-\ln 4=\ln e^{\frac{3}{2}}-\ln 4$,
又$e^{3}-16 ＞ 0$,$\therefore \ln e^{\frac{3}{2}}-\ln 4 ＞ 0$,
即$f(\frac{1}{2}) ＞ f(2)$,
$\therefore f(x)_{\min}=f(2)$,
$\therefore c \geqslant f(x)_{\min}=-\frac{7}{6}+\ln 2$,
故$c_{\min}=-\frac{7}{6}+\ln 2$.
(2)当$a = b$时,$f'(x)=\frac{2ax^{2}+x + a}{x^{2}}$
当$a = 0$时,$f(x)=\ln x$,
则$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增,符合题意;
当$a ＞ 0$时,$\because x ＞ 0$,
$\therefore 2ax^{2}+x + a ＞ 0$,
$\therefore f'(x) ＞ 0$,则$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增,
符合题意;
当$a ＜ 0$时,设$g(x)=2ax^{2}+x + a=2a(x +$
$\frac{1}{4a})^{2}+a-\frac{1}{8a}$,
$\because -\frac{1}{4a} ＞ 0$,
故只需$\Delta =1 - 8a^{2} \leqslant 0$,从而得$a \leqslant -\frac{\sqrt{2}}{4}$,
此时$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减.
综上可得,$a$的取值范围为$(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{4}] \cup [0,+\infty)$.