《2025年新课程学习与检测八年级数学上册》

5. 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}x + y = 1,\\ax + y = 5\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x = -2,\\y = 3,\end{cases}$ 则一次函数 $y = -x + 1$ 的图象和 $y = -ax + 5$ 的图象的交点 $P$ 的坐标是(-2,3).

答案： 5.(-2,3)

6. 已知方程 $2x + 1 = -x + 4$ 的解是 $x = 1$，则直线 $y = 2x + 1$ 与 $y = -x + 4$ 的交点坐标是(1,3).

答案： 6.(1,3)

7. 若函数 $y = -x + a$ 和 $y = x + b$ 的图象的交点坐标为 $(m,8)$，则 $a + b =$16.

答案： 7.16

8. 一次函数 $y = kx + 7$ 的图象总过定点(0,7)，二元一次方程 $kx - y = -7$ 有无数个解，其中必有一解是.

答案： 8.(0,7)

9. 如图所示，已知函数 $y = x + 1$ 和 $y = ax + 3$ 的图象交于点 $P$，点 $P$ 的横坐标为 $1$.
(1) 求关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}x - y = -1,\\ax - y = -3\end{cases}$ 的解.
(2) 求出 $a$ 的值.
(3) 求出函数 $y = x + 1$ 和 $y = ax + 3$ 的图象与 $x$ 轴围成的几何图形的面积.

答案： $9.(1)\begin{cases} x = 1, \\ y = 2. \end{cases} (2)a = -1.$
(3)解：
∵函数 y = x + 1 与 x 轴的交点为
(-1,0)，y = -x + 3 与 x 轴的交点为(3,0)，
∴这两个交点之间的距离为 3 - (-1) = 4.
∵点 P(1,2)，
∴函数 y = x + 1 和 y = ax + 3 的图象与 x 轴围
成的几何图形的面积为$\frac{1}{2} × 4 × 2 = 4.$

10. 如图所示，直线 $l_1:y = 2x + 1$ 与直线 $l_2:y = mx + 4$ 相交于点 $P(1,b)$，与 $x$ 轴分别交于 $A$，$B$ 两点.
(1) 求直线 $l_2$ 的表达式，并结合图象直接写出关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x - y = -1,\\mx - y = -4\end{cases}$ 的解.
(2) 求 $\triangle ABP$ 的面积.
(3) 若垂直于 $x$ 轴的直线 $x = a$ 与直线 $l_1$，$l_2$ 分别交于点 $C$，$D$，线段 $CD$ 的长为 $2$，求 $a$ 的值.

答案： $10.(1)\begin{cases} x = 1, \\ y = 3. \end{cases}$
(2)解：由题意得 m = -1，$l_1:y = 2x + 1，$$l_2$：
y = -x + 4，点$ A(-\frac{1}{2},0)，$B(4,0)，AB =
$4 - (-\frac{1}{2}) = \frac{9}{2}，$
∴$S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} × \frac{9}{2} × 3 = \frac{27}{4}.$
(3)解：直线 x = a 与直线$ l_1 $的交点 C 为
(a,2a + 1)，与直线$ l_2 $的交点 D 为(a,-a + 4).
∵CD = 2，
∴|2a + 1 - (-a + 4)| = 2，
即|3a - 3| = 2.
∴3a - 3 = 2 或 3a - 3 = -2，
解得$ a = \frac{5}{3} $或$ a = \frac{1}{3}.$