《2025年新课程学习与检测八年级数学上册》

9. 请阅读下面的文字并完成相关任务：勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”.在我国，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.如图1所示，这是著名的赵爽弦图，由4个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路如下：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c²，另一种是等于4个直角三角形与1个小正方形的面积之和，从而得到等式c²= $\frac{1}{2}ab×4+(b−a)^2$，化简得a²+b²=c²，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法称为“双求法”.请用“双求法”解决下面的问题.
(1)如图2所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值.
(2)如图3所示，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边的长为a，较长直角边的长为b，且a²+b²=ab+10，则小正方形的面积为多少？
(3)勾股定理本身及其验证和应用过程体现了一种重要的数学思想，即D.
A. 函数思想
B. 整体思想
C. 分类讨论思想
D. 数形结合思想
(4)请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理.

答案： 9.
(1)解：
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC.
∵AB=4，AC=5，BC=6，BD=x，
∴CD=BC - BD=6 - x.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得AD²=AB² - BD²=AC² - CD²，
即4² - x²=5² - (6 - x)²，整理得12x=27，
解得x=$\frac{9}{4}$.
(2)解：设大正方形的边长为c，
根据题意得c²=18，
∴a² + b²=c²=18.
∵a² + b²=ab + 10，
∴ab=8.
∵小正方形的边长为b - a，
∴(b - a)²=a² - 2ab + b²=18 - 2×8=2，
即小正方形的面积为2.
(3)D
(4)证明：S_{梯形}=$\frac{1}{2}$(a + b)·(a + b)=$\frac{1}{2}$a² + $\frac{1}{2}$b² + ab，
梯形的面积又可表示为S_{梯形}=$\frac{1}{2}$ab + $\frac{1}{2}$c² + $\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$c² + ab，
∴$\frac{1}{2}$a² + $\frac{1}{2}$b² + ab=$\frac{1}{2}$c² + ab，
即a² + b²=c².
直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边.