《2025年新课程学习与检测八年级数学上册》

7. 【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：有一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20，3，2，A和B是一个台阶两个相对的端点。
【探究实践】
老师让同学们探究：如图1所示，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
(1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图2所示，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB的长度为25，这就是最短路程。
【变式探究】
(2)如图3所示，这是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm，高是8cm。若蚂蚁要从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为17 cm。
【拓展应用】
(3)如图4所示，圆柱形玻璃杯的高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上离杯上沿1cm且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度不计)

答案：
7.
(1)25
(2)17 cm
(3)解:如图所示，将玻璃杯的侧面展开，作点B关于EF的对称点B'，作B'D⊥AE，交AE的延长线于点D，连接AB'，

由题意得DE=$\frac{1}{2}$BB'=1cm，AE=9 - 4=5(cm)，
∴AD=AE+DE=6cm.
∵底面周长为16cm，
∴B'D=$\frac{1}{2}$×16=8(cm).
∴AB'=10cm.
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB'=10cm.