《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版甘肃专版》

9. (2024·兰州新区期末)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线$y = x + 5$和直线$y = ax + b$相交于点$P$.根据图象可知，关于$x$和$y$的二元一次方程组$\begin{cases}y = x + 5,\\y = ax + b\end{cases}$的解是(B)


A.$\begin{cases}x = 20,\\y = 0\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 20,\\y = 25\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 0,\\y = 25\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 25,\\y = 20\end{cases}$

答案： B

10. 甲、乙两人参加从$A$地到$B$地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程$y$(米)与时间$x$(分)之间的函数关系如图所示，请根据图象，回答下列问题：
(1)乙先到达终点(填“甲”或“乙”).
(2)根据图象，求出甲的函数表达式.
(3)甲、乙何时相遇？

答案：
(1) 乙
(2) 设甲跑的路程$y$(米)与时间$x$(分)之间的关系式为$y = ax$，则$20a = 5000$，解得$a = 250$.
∴甲的函数表达式为$y = 250x(0 ≤ x ≤ 20)$.
(3) 当$10 ≤ x ≤ 16$时，设乙跑的路程$y$(米)与时间$x$(分)之间的关系式为$y = kx + b$.将$(10,2000)$，$(16,5000)$代入，得$\begin{cases} 10k + b = 2000, \\ 16k + b = 5000 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = 500, \\ b = -3000 \end{cases}$.
∴$y = 500x - 3000$.联立$\begin{cases} y = 250x, \\ y = 500x - 3000 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = 12, \\ y = 3000 \end{cases}$.
∴甲与乙在12分钟时相遇.

11. 新考向 数学文化 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将$9$个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的$3$个数之和相等，例如图$1$就是一个幻方.若图$2$是一个未完成的幻方，则其中$x$与$y$的和是(D)

A.$9$
B.$10$
C.$11$
D.$12$

答案： D

12. 新考向 综合与实践 【感悟思想】
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数$x,y$满足$3x - y = 5$①，$2x + 3y = 7$②，求$x - 4y$和$7x + 5y$的值.
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得$x,y$的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值.
如①$-$②可得$x - 4y = -2$，①$+$②$×2$可得$7x + 5y = 19$.
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.
【体会思想】
(1)已知二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 7,\\x + 2y = 8,\end{cases}$则$x - y =$-1，$x + y =$5.
【初步运用】
(2)解方程组：$\begin{cases}x + y = 5,①\\x + z = 3,②\\y + z = 4.③\end{cases}$
【拓展应用】
(3)某班级组织活动购买小奖品，买$20$支铅笔、$3$块橡皮、$2$本日记本共需$32$元，买$39$支铅笔、$5$块橡皮、$3$本日记本共需$58$元，则购买$5$支铅笔、$5$块橡皮、$5$本日记本共需多少元？

答案：
(1)-1 5
(2)① + ② + ③，得$2x + 2y + 2z = 12$，即$x + y + z = 6$.④ ④ - ①，得$z = 1$.④ - ②，得$y = 3$.④ - ③，得$x = 2$.
∴方程组的解为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3, \\ z = 1 \end{cases}$.
(3)设购买1支铅笔需$a$元，1块橡皮需$b$元，1本日记本需$c$元.根据题意，得$\begin{cases} 20a + 3b + 2c = 32,① \\ 39a + 5b + 3c = 58.② \end{cases}$①×2 - ②，得$a + b + c = 6$，则$5a + 5b + 5c = 30$.答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元.