《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版甘肃专版》

【例 1】如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 6，EF 为 AB 的垂直平分线，求 AE 的长。
解题思路：连接 BE，设 AE = x，则 BE = x，CE = 10 - x。
根据勾股定理，得 CE² + BC² = BE²，
可列方程为$(10 - x)^2 + 6^2 = x^2$。
解得 x = $\frac{34}{5}$。

答案： $10 - x \quad (10 - x)^2 + 6^2 = x^2 \quad \frac{34}{5}$

1. (2023·随州)如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，BC = 6，D 为 AC 上一点。若 BD 是∠ABC 的平分线，则 AD = 5。

答案： 1.5

【例 2】如图，在△ABC 中，AB = 15，BC = 14，AC = 13，AD⊥BC，求 BD 的长。
解题思路：设 BD = x，则 CD = 14 - x。
根据勾股定理，得 AD² = AB² - BD² = AC² - CD²，可列方程为$15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2$。
解得 x = 9。

答案： $14 - x \quad 15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2 \quad 9$

2. 如图，在△ABC 中，BC = 4，AC = 13，AB = 15，求△ABC 的面积。

答案： 2.解：过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$.设$CD = x$，则$BD = 4 + x$.$\because AC^2 - CD^2 = AB^2 - BD^2$，$\therefore 13^2 - x^2 = 15^2 - (4 + x)^2$，解得$x = 5$.$\therefore AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - 5^2 = 144$.$\therefore AD = 12$.$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AD = 24$.

3. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点 D，BD = 2，CD = 4，求 AD 的长。

答案： 3.解：设$AD = x$.在$Rt\triangle ACD$中，$AC^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + 4^2$，在$Rt\triangle BCD$中，$BC^2 = CD^2 + BD^2 = 4^2 + 2^2$，在$Rt\triangle ABC$中，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即$x^2 + 4^2 + 4^2 + 2^2 = (x + 2)^2$，解得$x = 8$.$\therefore AD = 8$.