《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版甘肃专版》

1. 用 4 个如图 1 所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图 2 所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理.
(1)图 2 中大正方形的边长为a + b，里面小正方形的边长为c.
(2)大正方形面积可以表示为$(a + b)^2$，也可以表示为$4 × \frac{1}{2}ab + c^2$.
(3)对比这两种表示方法，可得出$(a + b)^2 = 4 × \frac{1}{2}ab + c^2$，整理，得$c^2 = a^2 + b^2$.

答案： 1.
(1)$a + b$ c
(2)$(a + b)^2$ $4 × \frac{1}{2}ab + c^2$
(3)$(a + b)^2 = 4 × \frac{1}{2}ab + c^2$ $c^2 = a^2 + b^2$

2. (教材 P8 习题 T3 变式)如图，一棵高为 8 m 的大树被台风刮断. 若树在离地面 3 m 的点 C 处折断，则树顶端落在离树底部(A)

A.4 m 处
B.5 m 处
C.6 m 处
D.7 m 处

答案： 2.A

3. 一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，可得出两圆孔中心 A，B 之间的距离为100mm.

答案： 3.100

4. (教材 P6 随堂练习 T1 变式)如图，AC⊥BC，原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条无隧道高速公路，后因技术攻关，可以打通由 A 地到 B 地的隧道修建高速公路，其中隧道部分总长为 2 km. 已知高速公路每千米造价为 3 000 万元，隧道高速公路每千米造价为 5 000 万元，AC = 80 km，BC = 60 km，则改建后可节省的工程费用是多少？

答案： 4.解：在${\rm Rt}\triangle ABC$中，$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 80^2 + 60^2 = 10000$.$\therefore AB = 100\ {km}$.$(80 + 60) × 3000 - (100 - 2) × 3000 - 2 × 5000 = 116000$(万元). 答：改建后可节省的工程费用是116000万元.

5. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 BC 为 0.7 米，梯子顶端到地面的距离 AC 为 2.4 米. 若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离 A'D 为 1.5 米，则小巷的宽为(C)

A.2.5 米
B.2.6 米
C.2.7 米
D.2.8 米

答案： 5.C

6. (2024·眉山)图 1 是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形拼成. 若图 1 中大正方形的面积为 24，小正方形的面积为 4，现将这四个直角三角形拼成图 2，则图 2 中大正方形的面积为(D)

A.24
B.36
C.40
D.44

答案： 6.D

7. (教材 P9 习题 T7 变式)如图，某隧道的截面是一个半径为 5.2 m 的半圆形，以中间线为界分成两条车道，试问一辆高 4.1 m、宽 3 m 的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道吗？(中间线宽忽略不计)

答案： 7.解：过圆上一点$A$作地面的垂线，垂足为$B$(不与点$O$重合). 当$BO = 3\ {m}$时，$AB^2 = AO^2 - OB^2 = 5.2^2 - 3^2 = 18.04$，$\because 4.1^2 = 16.81 ＜ 18.04$，$\therefore$一辆高4.1m、宽3m的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道.