《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版甘肃专版》

1. 含有3个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程. 共含有3个未知数的3个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组.

答案： 1. 3；1；3；3；一

2. 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解. 解三元一次方程组的基本思路是“消元”——把“三元”化成“二元”，再化成“一元”.

答案： 2. 公共解；消元；二元；一元

1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是 (C)

A.$\left\{\begin{array}{l}x + z = 2,\\ xy + x = 4,\\ z - x = 1\end{array}\right.$
B.$\left\{\begin{array}{l}x - \frac{3}{y} = 4,\\ x + z = 6,\\ y - 2z = 7\end{array}\right.$
C.$\left\{\begin{array}{l}x = 9,\\ x - y = 4,\\ z - y = 5\end{array}\right.$
D.$\left\{\begin{array}{l}x + y = 8,\\ y - m = 3,\\ z - x = 5\end{array}\right.$

答案： 1.C

2. 三元一次方程$x - y + z = 3$有无数个解，下列四组值中，不是该方程的解的是(D)

A.$\left\{\begin{array}{l}x = 1,\\ y = 1,\\ z = 3\end{array}\right.$
B.$\left\{\begin{array}{l}x = 2,\\ y = 1,\\ z = 2\end{array}\right.$
C.$\left\{\begin{array}{l}x = 2,\\ y = 3,\\ z = 4\end{array}\right.$
D.$\left\{\begin{array}{l}x = 3,\\ y = 2,\\ z = 1\end{array}\right.$

答案： 2.D

3. 解方程组$\left\{\begin{array}{l}2x - y + 3z = 1,\\ 3x + y - 7z = 2,\\ 5x - y + 3z = 3\end{array}\right.$时，要使运算最简便，应先消去(B)

A.$x$
B.$y$
C.$z$
D.常数项

答案： 3.B

4. 解三元一次方程组：$\left\{\begin{array}{l}x + y - z = 11,①\\ y + z - x = 5,②\\ z + x - y = 1.③\end{array}\right.$

答案： 解：①+②，得2y=16，解得y=8.①+③，得2x=12，解得x=6.②+③，得2z=6，解得z=3.
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = 6,\\y = 8,\\z = 3.\end{cases}$

5. 现有 A，B，C 三箱橘子，其中 A，B 两箱共 100 个橘子，A，C 两箱共 102 个橘子，B，C 两箱共 106 个橘子，求每箱各有多少个橘子. 在该问题中，若设 A，B，C 三个箱子中的橘子分别有$x$个、$y$个、$z$个，则可列方程组为$\begin{cases}x + y = 100,\\x + z = 102,\\y + z = 106\end{cases}$.

答案： $5.\begin{cases}x + y = 100,\\x + z = 102,\\y + z = 106\end{cases}$

6. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密). 已知加密规则为：明文$a$，$b$，$c$，对应密文$a + 2$，$-a + 2b + 4$，$b + 3c + 9$. 若接收方收到密文 9，13，23，则解密得到的明文为(B)

A.8，2，7
B.7，8，2
C.8，7，2
D.7，2，8

答案： 6.B

7. 一个三位数的三个数字的和是 17，其中百位数字与十位数字的和比个位数字大 3. 如果把个位数字与百位数字对调，那么得到的新三位数比原来的三位数大 495，求原来的三位数.

答案： 解：设原来三位数的百位数字为$x$，十位数字为$y$，个位数字为$z$。
根据“三个数字的和是$17$”可得$x + y + z = 17$ ①；
根据“百位数字与十位数字的和比个位数字大$3$”可得$x + y - z = 3$ ②；
原来的三位数为$100x + 10y + z$，把个位数字与百位数字对调后的新三位数为$100z + 10y + x$，根据“新三位数比原来的三位数大$495$”可得$(100z + 10y + x)-(100x + 10y + z)=495$，化简得$z - x = 5$ ③。
①$-$②得：$(x + y + z)-(x + y - z)=17 - 3$，
$x + y + z - x - y + z = 14$，
$2z = 14$，解得$z = 7$。
把$z = 7$代入③得：$7 - x = 5$，解得$x = 2$。
把$x = 2$，$z = 7$代入①得：$2 + y + 7 = 17$，
$y + 9 = 17$，解得$y = 8$。
所以原来的三位数是$287$。
综上，原来的三位数为$287$。

8. 有甲、乙、丙三种商品，如果购买 3 件甲商品、2 件乙商品、1 件丙商品共需 420 元钱，购买 1 件甲商品、2 件乙商品、3 件丙商品共需 380 元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需(A)

A.200 元
B.300 元
C.350 元
D.400 元

答案： 8.A