《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版甘肃专版》

10. 在$Rt\triangle ABC$中，斜边$BC = 10$，则$BC^{2}+AB^{2}+AC^{2}=$(C)

A.$20$
B.$100$
C.$200$
D.$144$

答案： C

11. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$BC = 4$，$\angle C = 90^{\circ}$，$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于点$D$，$BD = 5$，则$D$到直线$AB$的距离为(B)

A.$2$

B.$3$
C.$4$
D.$5$

答案： B

12. (教材$P9$习题$T6$变式)已知等腰三角形的腰长为$5\ cm$，底边上的中线长为$4\ cm$，则它的面积是(D)

A.$24\ cm^{2}$
B.$20\ cm^{2}$
C.$15\ cm^{2}$
D.$12\ cm^{2}$

答案： D

13. 如图所示的是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形$A$，$B$，$C$，$D$的面积分别是$4$，$6$，$2$，$4$，则最大正方形$E$的面积是(C)

A.$12$
B.$14$
C.$16$
D.$18$

答案： C

14. 如图，在边长为$1$的小正方形网格中，$P$为$CD$上任意一点，则$PB^{2}-PA^{2}$的值为12.

答案： 12

15. 如图，在四边形草坪$ABCD$中，$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$.若$AB = 20\ m$，$BC = 15\ m$，$CD = 7\ m$，求这块草坪$ABCD$的面积.

答案： 解：连接AC.在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}$
$=625=25^{2}$.
∴$AC=25$ m.在$Rt\triangle ADC$中，由勾股定理，得$AD^{2}+CD^{2}=$
$AC^{2}$，
∴$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=24^{2}$.
∴$AD=24$ m.
∴$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AB·BC+$
$\frac{1}{2}AD·CD=\frac{1}{2}×20×15+\frac{1}{2}×24×7=234(m^{2})$.
∴这块草坪ABCD的面积为$234m^{2}$.

16. 根据勾股定理知识迁移，解答下列问题.
(1)如图$1$，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，求它们的面积$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$之间满足的等量关系.
(2)应用：如图$2$，直角三角形的两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，分别以三边为直径作半圆.若$a = 3$，$c = 5$，求图中阴影部分的面积.

答案： 解：
(1)设$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$分别对应直径为$a$，$b$，$c$，根据勾股定理，得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
由图，得$S_{1}=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^{2}=\frac{\pi}{8}a^{2}$，同理可得，$S_{2}=\frac{\pi}{8}b^{2}$，$S_{3}=\frac{\pi}{8}c^{2}$，
∴$S_{1}+$
$S_{2}=\frac{\pi}{8}a^{2}+\frac{\pi}{8}b^{2}=\frac{\pi}{8}(a^{2}+b^{2})=\frac{\pi}{8}c^{2}=S_{3}$.
(2)设以$a$，$b$，$c$为直径的三个半圆的面积分别为$P$，$Q$，$R$，以$a$，$b$为直角边的直角三角形的面积为$S_{4}$.
∵$a=3$，$c=5$，
∴$b^{2}=c^{2}-a^{2}=5^{2}-3^{2}=16=4^{2}$.
∴$b=4$.
∴$S_{4}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×$
$3×4=6$.由
(1)知，$P+Q=R$，
∴阴影部分的面积为$S=P+Q+S_{4}-R=S_{4}=$
6.