《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版甘肃专版》

学习探究
探究平面直角坐标系中两点间的距离，设 $ P_1(x_1,y_1) $，$ P_2(x_2,y_2) $。
(1) 如图1，当点 $ P_1 $，$ P_2 $ 的纵坐标相同时，$ P_1P_2 = $$x_{2}-x_{1}$；当点 $ P_1 $，$ P_2 $ 的横坐标相同时，$ P_1P_2 = $$y_{2}-y_{1}$。

(2) 如图2，$ P_1C = x_2 - x_1 $，$ P_2C = y_2 - y_1 $，由勾股定理，得 $ P_1P_2 = $$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$。

答案：
(1)$x_{2}-x_{1}$ $y_{2}-y_{1}$
(2)$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

1. 在平面直角坐标系中，$ A $，$ B $ 两点的坐标分别为 $ (5,-1) $，$ (5,2) $，则 $ A $，$ B $ 两点间的距离为3。

答案： 1. 3

2. 在平面直角坐标系中，已知点 $ P(1,-\sqrt{2}) $ 到原点的距离为 (C)

A.1
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \sqrt{3} $
D.3

答案： 2. C

3. 在平面直角坐标系中，点 $ A(1,2) $，$ B(-3,b) $，当线段 $ AB $ 最短时，线段 $ AB $ 的长为 (C)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 3. C

4. 已知 $ \triangle ABC $ 各顶点的坐标分别为 $ A(-1,4) $，$ B(-3,1) $，$ C(1,1) $，请判定 $ \triangle ABC $ 的形状，并说明理由。

答案： 4. 解：$\triangle ABC$是等腰三角形，理由如下：$\because AB=\sqrt{(-1 + 3)^{2}+(4 - 1)^{2}}=\sqrt{13}$，
$BC=\sqrt{(-3 - 1)^{2}+(1 - 1)^{2}} = 4$，$AC=\sqrt{(-1 - 1)^{2}+(4 - 1)^{2}}=\sqrt{13}$，$\therefore AB$
$=AC$，$AB^{2}+AC^{2}\neq BC^{2}$。$\therefore\triangle ABC$为等腰三角形。

5. 如图，已知点 $ A(3,0) $，$ B(0,4) $，在 $ x $ 轴上找一点 $ C $，使 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形，求所有点 $ C $ 的坐标。

答案： 5. 解：设$C(x,0)$。$\because A(3,0)$，$B(0,4)$，$\therefore AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，$AC=\sqrt{(3 - x)^{2}} =$
$|3 - x|$，$BC=\sqrt{x^{2}+16}$。①当$AB = AC$时，$\triangle ABC$为等腰三角形。$\therefore|3 - x|$
$=5$，解得$x = - 2$或$x = 8$。$\therefore$点$C$的坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$。②当$AB = BC$
时，$\triangle ABC$为等腰三角形。$\therefore\sqrt{x^{2}+16}=5$，解得$x = 3$或$x = - 3$。当$x = 3$
时，$A$，$C$两点重合，不合题意，舍去。$\therefore$点$C$的坐标为$(-3,0)$。③当$AC = BC$
时，$\triangle ABC$为等腰三角形。$\therefore|3 - x|=\sqrt{x^{2}+16}$，解得$x = -\frac{7}{6}$。$\therefore$点$C$的
坐标为$(-\frac{7}{6},0)$。综上所述，点$C$的坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$或$(-3,0)$或$(-\frac{7}{6},0)$。