《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版甘肃专版》

1. 某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱. 供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为 4 元.
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱. 工厂需要一次性投入机器安装费 16 000 元，每加工一个纸箱还需成本费 2.4 元.
(1)完成下表：

(2)若需要这种规格的纸箱 $ x $ 个，请分别写出两种方案中所需费用 $ y $（元）与 $ x $（个）之间的关系式.
(3)在(2)的条件下，需要制作多少个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同？

答案： 1.解：
(1)略
(2)方案一：$y = 4x$；方案二：$y = 2.4x + 16000$。
(3)由题意，得$2.4x + 16000 = 4x$，解得$x = 10000$。答：需要制作10000个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同。

2. (教材 P83 新增例 3 变式)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度. 若每月用水量不超过 14 吨（含 14 吨），则每吨按 2 元收费；若每月用水量超过 14 吨，则超过部分每吨按 3.5 元收费.
(1)设每月用水量为 $ x $ 吨，应交水费为 $ y $ 元，当 $ x ＞ 14 $ 时，求 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式.
(2)若小名家 9 月份用水 15 吨，则 9 月份水费为多少元？
(3)若小名家 10 月份交水费 49 元，求他家 10 月份用水多少吨.

答案： 2.解：
(1)当$x ＞ 14$时，$y = 2×14 + (x - 14)×3.5 = 3.5x - 21$。
(2)由
(1)可知，9月份水费为$3.5×15 - 21 = 31.5$（元）。
(3)
∵$14×2 = 28$（元），$49 ＞ 28$，
∴小名家10月份用水超过14吨。
∴当$y = 49$时，$3.5x - 21 = 49$，解得$x = 20$。答：小名家10月份用水20吨。

3. 新考向 本地素材 在甘肃陇南地区，紫色的猕猴桃以其独特的风味和丰富的营养价值受到广泛地欢迎. 现有甲、乙两家水果店经销同一包装、品质完全相同的猕猴桃，销售价格如下表：

某客户计划在甲、乙两家水果店中任意选择一家购买猕猴桃.
(1)请分别写出该客户在甲、乙水果店购买猕猴桃的总费用 $ y $（元）与 $ x $（箱）之间的关系式.
(2)若该客户计划用 500 元购买猕猴桃，则该客户应选择在哪一家购买，可使购买的猕猴桃更多？

答案： 3.解：
(1)甲水果店：不超过10箱，即当$0\leq x\leq10$时，$y = 30x$；超过10箱，即当$x ＞ 10$时，$y = 30×10 + 25(x - 10) = 25x + 50$，
∴$y=\begin{cases}30x(0\leq x\leq10)\\25x + 50(x ＞ 10)\end{cases}$。乙水果店：
∵销售价格为26元/箱，
∴$y = 26x$。
(2)当在甲水果店购买时，
∵$30×10 = 300$（元），$500 ＞ 300$，
∴购买的水果超过了10箱。令$y = 500$，则$25x + 50 = 500$，解得$x = 18$，
∴用500元在甲水果店最多购买18箱猕猴桃；当在乙水果店购买时，令$y = 500$，则$26x = 500$，解得$x = 19\frac{3}{13}$。
∴用500元在乙水果店最多购买$19$箱猕猴桃。
∵$19 ＞ 18$，
∴该客户应选择在乙水果店购买，可使购买的猕猴桃更多。