《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版甘肃专版》

【例】如图，在三角形纸片 $ABC$ 中，$AB = 8$，$BC = 6$，$AC = 10$，折叠三角形纸片 $ABC$，使点 $A$ 与 $BC$ 的中点 $D$ 重合，折痕为 $MN$，求 $BN$ 的长。

答案： 解：$\because$在$\triangle ABC$中，$AB = 8$，$BC = 6$，$AC = 10$，$\therefore AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$．$\therefore \angle B = 90^{\circ}$．$\because D$为$BC$的中点，$\therefore BD = CD = 3$．设$BN = x$，则$AN = DN = 8 - x$．在$Rt\triangle BDN$中，由勾股定理，得$(8 - x)^{2} = x^{2} + 3^{2}$，解得$x = \frac{55}{16}$．故$BN$的长为$\frac{55}{16}$．

1. (2024·兰州十一中期中)如图，把一张长方形纸片 $ABCD$ 折叠起来，使其顶点 $C$ 与点 $A$ 重合，折痕为 $EF$。若 $AB = 1$，$BC = 2$，则 $AF$ 的长为$\frac{5}{4}$。

答案： $\frac{5}{4}$

2. 如图，在三角形纸片 $ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = 5$，$AB = 13$，在 $AC$ 上取一点 $E$，沿 $BE$ 折叠纸片，使 $AB$ 的一部分与 $BC$ 重合，点 $A$ 与 $BC$ 延长线上的点 $D$ 重合，则 $CE$ 的长为$\frac{10}{3}$。

答案： $\frac{10}{3}$

3. 如图，在长方形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$BC = 13$，将长方形 $ABCD$ 沿 $BE$ 折叠，点 $A$ 落在 $A'$ 处。若 $EA'$ 的延长线恰好过点 $C$，则 $AE$ 的长为$1$。

答案： $1$

4. 如图，在三角形纸片 $ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = 2$，$AC = 3$。沿过点 $A$ 的直线折叠纸片，使点 $B$ 落在边 $BC$ 上的点 $D$ 处；再折叠纸片，使点 $C$ 与点 $D$ 重合，折痕交 $AC$ 于点 $E$，则 $AE$ 的长是$\frac{13}{6}$。

答案： $\frac{13}{6}$

5. 如图，在长方形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$BC = 6$，$P$ 是射线 $BC$ 上一动点，$l$ 为长方形 $ABCD$ 的一条对称轴，将 $\triangle ABP$ 沿 $AP$ 折叠，当点 $B$ 的对应点 $B'$ 落在 $l$ 上时，$BP$ 的长为$\frac{5}{3}$或$15$。

答案： $\frac{5}{3}$或$15$