《2025年学习指导用书物理电子信息类》

18. 在一次测定引力常量的实验中，已知一个质量是0.80 kg的小球，以$1.3× 10^{-10}\ N$的力吸引另一个质量是$4.0× 10^{-3}\ kg$的小球，这两个球相距$4.0× 10^{-2}\ m$，地球表面的重力加速度是$9.8\ m/s^{2}$，地球的半径是6400 km。试计算：
（1）引力常量$G$；
（2）地球的质量。

答案： （1）由万有引力公式$F = G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$，得$G=\frac{Fr^{2}}{m_{1}m_{2}}$。代入数据：$F = 1.3× 10^{-10}\ N$，$r = 4.0× 10^{-2}\ m$，$m_{1}=0.80\ kg$，$m_{2}=4.0× 10^{-3}\ kg$，则$G=\frac{1.3× 10^{-10}×(4.0× 10^{-2})^{2}}{0.80×4.0× 10^{-3}}\approx6.5× 10^{-11}\ N·m^{2}/kg^{2}$。
（2）在地球表面，$mg = G\frac{Mm}{R^{2}}$，得$M=\frac{gR^{2}}{G}$。$g = 9.8\ m/s^{2}$，$R = 6.4× 10^{6}\ m$，$G = 6.5× 10^{-11}\ N·m^{2}/kg^{2}$，则$M=\frac{9.8×(6.4× 10^{6})^{2}}{6.5× 10^{-11}}\approx6.1× 10^{24}\ kg$。

19. 1990年5月，紫金山天文台发现了编号为2752号的小行星，并命名为“吴健雄星”，该小行星的半径为16 km。若将该小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星的密度与地球的相同，已知地球半径$R = 6400\ km$，地球表面的重力加速度为$g$，则这个小行星表面的重力加速度为多少？

答案： 设小行星半径$r = 16\ km$，地球半径$R = 6400\ km$，密度均为$\rho$。星球质量$M=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}$，表面重力加速度$g = G\frac{M}{R^{2}}=G\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R$，则$\frac{g_{行}}{g}=\frac{r}{R}$，$g_{行}=g\cdot\frac{r}{R}=g×\frac{16}{6400}=\frac{g}{400}$。

20. 某星球的半径为$R$，表面的重力加速度为$g$。
（1）求该星球的第一宇宙速度（用$g$、$R$表示）；
（2）若某卫星以第一宇宙速度围绕该星球运动，求该卫星的公转周期$T$（用$g$、$R$表示）。

答案： （1）第一宇宙速度$v$满足$mg = m\frac{v^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{gR}$。
（2）由$v=\frac{2\pi R}{T}$，得$T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR}}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$。