《2025年学习指导用书物理电子信息类》

9. 如图4.2.1所示，当一个质量为2000 kg的航天器在离地球中心2R的轨道上运行时（离地球表面一段距离，距离为r=6380 km），它受到的万有引力是多少？

答案： 4900 N
解析：地球半径$ R = 6380\ km = 6.38 × 10^{6}\ m $，轨道半径$ r = 2R $。
地球表面物体重力等于万有引力：$ mg = G\frac{Mm}{R^{2}} $，得$ GM = gR^{2} $。
航天器所受万有引力：$ F = G\frac{Mm}{(2R)^{2}} = \frac{GMm}{4R^{2}} = \frac{mg}{4} $。
代入数据：$ F = \frac{2000 × 9.8}{4} = 4900\ N $。

例1 设“嫦娥一号”月球探测器的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球质量约为地球质量的$\frac{1}{81}$，月球半径约为地球半径的$\frac{1}{4}$，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，试求该探月卫星绕月运行的速度。（引力常量为G）

答案： 1.8 km/s
解析：地球第一宇宙速度$ v_{地} = \sqrt{\frac{GM_{地}}{R_{地}}} = 7.9\ km/s $。
月球第一宇宙速度$ v_{月} = \sqrt{\frac{GM_{月}}{R_{月}}} $，其中$ M_{月} = \frac{1}{81}M_{地} $，$ R_{月} = \frac{1}{4}R_{地} $。
则$ v_{月} = \sqrt{\frac{G \cdot \frac{1}{81}M_{地}}{\frac{1}{4}R_{地}}} = \sqrt{\frac{4}{81} \cdot \frac{GM_{地}}{R_{地}}} = \frac{2}{9}v_{地} $。
代入数据：$ v_{月} = \frac{2}{9} × 7.9 \approx 1.8\ km/s $。

例2 2019年1月3日，“嫦娥四号”探测器首次在月球背面软着陆，开展原位和巡视探测。假设“嫦娥四号”登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，月球车在月球软着陆后，自动机器人在月球表面上将一小球从h高度自由下落，测得小球经时间t落回地面。已知月球半径为R，引力常量为G，月球质量分布均匀，求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的第一宇宙速度。

答案： （1）$\frac{2h}{t^{2}}$
解析：由自由落体运动公式$ h = \frac{1}{2}g_{月}t^{2} $，解得$ g_{月} = \frac{2h}{t^{2}} $。
（2）$\sqrt{\frac{2hR}{t^{2}}}$
解析：月球第一宇宙速度$ v = \sqrt{g_{月}R} = \sqrt{\frac{2hR}{t^{2}}} $。