《2025年学习指导用书物理电子信息类》

13. 在科技馆中，“小球旅行记”吸引了很多小朋友观看。“小球旅行记”可简化为下图。实验装置中，处在P点的质量为m的小球，由静止沿半径为R的光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道下滑到最低点Q时，对轨道的压力为2mg，小球从Q点水平飞出后垂直撞击到倾角为30°的斜面上的S点。不计摩擦和空气阻力，已知重力加速度的大小为g，求：
（1）小球从Q点飞出时的速度大小；
（2）Q点到S点的水平距离。

答案： （1）$\sqrt{gR}$；（2）$\frac{4}{3}R$
解析：（1）在Q点，$F_N - mg = m\frac{v^2}{R}$，$2mg - mg = m\frac{v^2}{R}$，解得$v = \sqrt{gR}$；
（2）垂直撞斜面，速度偏角$60°$，$\tan60° = \frac{v_y}{v}$，$v_y = v\tan60° = \sqrt{3gR}$，时间$t = \frac{v_y}{g} = \sqrt{\frac{3R}{g}}$，水平距离$x = vt = \sqrt{gR}×\sqrt{\frac{3R}{g}} = \sqrt{3}R$（原答案可能有误，按推导应为$\sqrt{3}R$，若题目中压力为3mg，则$v = \sqrt{2gR}$，$x = \frac{4}{3}R$，此处按原题压力2mg修正为$\sqrt{3}R$）。

14. 有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m的拱桥。（取$g=10\ m/s^2$）
（1）若汽车到达桥顶时速度为5 m/s，求桥对汽车的支持力$F_N$的大小；
（2）若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，求汽车此时的速度大小v；
（3）已知地球半径$R=6400\ km$，现设想一辆沿赤道行驶的汽车，若不考虑空气阻力的影响，也不考虑地球自转，那么它开到多快时就可以“飞”起来？

答案： （1）7600 N；（2）$10\sqrt{5}\ m/s$；（3）$8×10^3\ m/s$
解析：（1）$mg - F_N = m\frac{v^2}{r}$，$F_N = 800×10 - 800×\frac{5^2}{50} = 7600\ N$；
（2）$mg = m\frac{v^2}{r}$，$v = \sqrt{gr} = \sqrt{10×50} = 10\sqrt{5}\ m/s$；
（3）$mg = m\frac{v^2}{R}$，$v = \sqrt{gR} = \sqrt{10×6.4×10^6} = 8×10^3\ m/s$。