《2025年学习指导用书物理电子信息类》

6. 木星的公转周期为12个地球年，设地球至太阳的距离为1天文单位，那么木星至太阳的距离约为______天文单位。

答案： $12^{\frac{2}{3}}\approx5.24$
解析：由开普勒第三定律$\frac{r_{木}^{3}}{T_{木}^{2}}=\frac{r_{地}^{3}}{T_{地}^{2}}$，$T_{木}=12$年，$T_{地}=1$年，$r_{地}=1$天文单位。则$r_{木}^{3}=r_{地}^{3}\cdot\frac{T_{木}^{2}}{T_{地}^{2}}=12^{2}$，$r_{木}=\sqrt[3]{144}=12^{\frac{2}{3}}\approx5.24$天文单位。

7. 开普勒第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴$a$的三次方与它的公转周期$T$的二次方成正比，即$\frac{a^{3}}{T^{2}}=k$，$k$是一个与行星无关，与太阳有关的常量。
（1）现将行星绕太阳的运动简化为匀速圆周运动模型，已知引力常量为$G$，太阳的质量为$M$，行星到太阳的距离为$r$，运行周期为$T$。请结合万有引力定律和牛顿运动定律推导常量$k$的表达式。
（2）小明在图书馆查阅资料后了解到：已知月球绕地球做圆周运动的半径为$R_{1}$，周期为$T_{1}$；某探月卫星绕月球做圆周运动的半径为$R_{2}$，周期为$T_{2}$，引力常量为$G$。他认为，若不计周围其他天体的影响，根据开普勒第三定律，应该满足$\frac{R_{1}^{3}}{T_{1}^{2}}=\frac{R_{2}^{3}}{T_{2}^{2}}$，请判断他的观点是否正确，并说明理由。

答案： （1）$k=\frac{GM}{4\pi^{2}}$
解析：行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{r^{2}}=m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，整理得$\frac{r^{3}}{T^{2}}=\frac{GM}{4\pi^{2}}$，即$k=\frac{GM}{4\pi^{2}}$。
（2）不正确
解析：开普勒第三定律中常量$k$与中心天体质量有关，月球绕地球运动的中心天体是地球，探月卫星绕月球运动的中心天体是月球，中心天体不同，$k$值不同，故$\frac{R_{1}^{3}}{T_{1}^{2}}\neq\frac{R_{2}^{3}}{T_{2}^{2}}$。