《2025年物理上学习指导用书通用类》

13. 某星球的半径为$R$，表面重力加速度为$g$。
（1）求该星球的第一宇宙速度$v$（用$g$、$R$表示）；
（2）若某卫星以第一宇宙速度环绕该星球运动，求该卫星的公转周期$T$（用$g$、$R$表示）。

答案： （1）第一宇宙速度是卫星近地环绕速度，万有引力提供向心力，$mg=m\frac{v^{2}}{R}$，解得$v=\sqrt{gR}$。
（2）卫星周期$T=\frac{2\pi R}{v}$，将$v=\sqrt{gR}$代入，得$T=\frac{2\pi R}{\sqrt{gR}}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$。

14. 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的编号为2752号小行星命名为“吴健雄星”，该小行星的半径为16 km，若将此小行星和地球均看作质量分布均匀的球体，小行星的密度与地球的相同，已知地球半径$R=6400\ km$，地球表面的重力加速度为$g$，则这个小行星表面的重力加速度为多少？

答案： 设小行星半径$r=16\ km=1.6×10^{4}\ m$，地球半径$R=6.4×10^{6}\ m$，密度均为$\rho$。星球质量$M=\rho V=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}$，表面重力加速度$g=G\frac{M}{R^{2}}=G\frac{\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}}{R^{2}}=\frac{4}{3}\pi G\rho R$，则$g\propto R$。小行星表面重力加速度$g'=\frac{r}{R}g=\frac{1.6×10^{4}}{6.4×10^{6}}g=0.0025g$。