《2025年物理上学习指导用书通用类》

11. 开普勒第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴$a$的三次方与它的公转周期$T$的二次方成正比，即$\frac{a^3}{T^2}=k$，$k$是一个与行星无关而与太阳有关的常数。
（1）现将行星绕太阳的运动简化为匀速圆周运动，已知引力常量为$G$，太阳的质量为$M$，行星到太阳的距离为$r$，运行周期为$T$。请结合万有引力定律和牛顿运动定律推导常数$k$的表达式。
（2）小明在图书馆查阅资料后了解到：月球绕地球做圆周运动的半径为$r_1$，周期为$T_1$；“嫦娥四号”探测器在绕月球做圆周运动时的半径为$r_2$，周期为$T_2$，引力常量为$G$。他认为，若不计周围其他天体的影响，根据开普勒第三定律，应该满足$\frac{r_1^3}{T_1^2}=\frac{r_2^3}{T_2^2}$，请判断他的观点是否正确，并说明理由。

答案： （1）$k=\frac{GM}{4\pi^2}$
行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2r}{T^2}$，化简得$\frac{r^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}$，即$k = \frac{GM}{4\pi^2}$。
（2）不正确
开普勒第三定律中常数$k$与中心天体质量有关，月球绕地球运动的中心天体是地球，“嫦娥四号”绕月球运动的中心天体是月球，中心天体不同，$k$值不同，故$\frac{r_1^3}{T_1^2}\neq\frac{r_2^3}{T_2^2}$。