《2025年物理上学习指导用书通用类》

例2 “土卫一”是土星的一颗卫星，其轨道半径约为$1.87×10^{8}\ m$，轨道周期大约是23 h。运用万有引力定律以及开普勒第三定律，计算土星的质量。

答案： $5.64×10^{26}\ kg$
解析：由万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{r^{2}}=m(\frac{2\pi}{T})^{2}r$，得$M=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$。$r=1.87×10^{8}\ m$，$T=23\ h=23×3600\ s$，代入数据：$M=\frac{4\pi^{2}×(1.87×10^{8})^{3}}{6.67×10^{-11}×(23×3600)^{2}}\approx5.64×10^{26}\ kg$。

例3 已知地球的质量$M_{地}=5.98×10^{24}\ kg$，半径$R_{地}=6.40×10^{3}\ km$，著名的哈勃空间望远镜的轨道高度为$6.10×10^{2}\ km$，试求它的环绕速度。

答案： 7.5 km/s
解析：轨道半径$r=R_{地}+h=6.40×10^{6}+6.10×10^{5}=7.01×10^{6}\ m$。由$G\frac{M_{地}m}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM_{地}}{r}}$。代入数据：$v=\sqrt{\frac{6.67×10^{-11}×5.98×10^{24}}{7.01×10^{6}}}\approx7.5×10^{3}\ m/s=7.5\ km/s$。