《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

23. (本题 12 分)
如图,在 $ \triangle A B C $ 中,$ A C = B C $,将 $ \triangle A B C $ 绕点 $ A $ 按顺时针方向旋转 $ 60 ^ { \circ } $,得到 $ \triangle A D E $,点 $ B $ 的对应点为点 $ D $,点 $ C $ 的对应点为点 $ E $,连接 $ B D $,$ B E $,延长 $ B E $,交 $ A D $ 于点 $ F $.求证:
(1) $ \triangle A B D $ 是等边三角形；
(2) $ B F \perp A D $,$ A F = D F $.

答案：
(1)
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，
∴AB=AD（旋转半径相等），∠BAD=60°（旋转角为60°），
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
(2) 由旋转性质得：△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，∠ABC=∠ADE，
∵AC=BC，
∴AE=DE（等量代换），
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=60°，
在△ABE和△DBE中，
$\begin{cases} AB=DB \\ BE=BE \\ AE=DE \end{cases}$，
∴△ABE≌△DBE（SSS），
∴∠ABE=∠DBE（全等三角形对应角相等），即BF平分∠ABD，
∵△ABD是等边三角形，
∴BF是△ABD的角平分线，
∴BF是△ABD的中线和高线（等边三角形三线合一），
∴AF=DF，BF⊥AD．