《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

23. (本题满分12分)
(1)如图甲,在四边形ABCD中,$AB = AD$,$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$,E,F分别是边BC,CD上的点,若$\angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAD$,可求得EF,BE,FD之间的数量关系为$\underline{EF=BE+FD}$.(只思考解题思路,完成填空即可,不必书写证明过程)
(2)如图乙,在四边形ABCD中,$AB = AD$,$\angle B + \angle ADC = 180^{\circ}$,E,F分别是边BC,CD延长线上的点,若$\angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAD$,判断(1)中EF,BE,FD之间的数量关系还成立吗?若成立,请完成证明;若不成立,请说明理由.

答案：
(1) EF=BE+FD
(2) 不成立，EF=BE-FD。证明如下：
延长FD至点G，使DG=BE，连接AG。
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG。
在△ABE和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AD\\\angle B=\angle ADG\\BE=DG\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG(SAS)。
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG。
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAD=2∠EAF。
又∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD=∠GAE，
∴∠GAE=2∠EAF，故∠GAF=∠EAF。
在△AEF和△AGF中，$\left\{\begin{array}{l}AE=AG\\\angle EAF=\angle GAF\\AF=AF\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF(SAS)。
∴EF=GF。
∵GF=GD-FD，GD=BE，
∴EF=BE-FD。