《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

22. (本题 12 分)
如图,点$O是等边\triangle ABC$内一点,$\angle AOB = 110^{\circ}$,将$\triangle BOC绕点C顺时针旋转60^{\circ}到\triangle ADC$的位置,连接$OD$。
(1)求证：$\triangle COD$为等边三角形。
(2)若$\angle BOC = 150^{\circ}$,试判断$\triangle AOD$的形状,并说明理由。
(3)若$\triangle AOD$为等腰三角形,求$\angle BOC$的度数。

答案：
(1)证明：
∵△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°。
∵CO=CD且∠OCD=60°，
∴△COD为等边三角形。
(2)△AOD为直角三角形。理由：
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°。
∵△COD为等边三角形，
∴∠CDO=60°。
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°。
∴△AOD是直角三角形。
(3)设∠BOC=x，由旋转性质得∠ADC=x，△COD为等边三角形，∠CDO=60°，∠COD=60°。∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=360°-110°-x=250°-x，∠AOD=∠AOC-∠COD=250°-x-60°=190°-x。∠ADO=∠ADC-∠CDO=x-60°。△AOD中，∠OAD=180°-(190°-x)-(x-60°)=50°。
情况1：AO=AD时，∠AOD=∠ADO，即190°-x=x-60°，解得x=125°。
情况2：OA=OD时，∠OAD=∠ADO，即50°=x-60°，解得x=110°。
情况3：OD=AD时，∠OAD=∠AOD，即50°=190°-x，解得x=140°。
综上，∠BOC=110°或125°或140°。