《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

23. (本题 8 分)
观察下列等式：
$ \frac{1}{1 × 2} = 1 - \frac{1}{2} $,$ \frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $,$ \frac{1}{3 × 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $,…
将上面前三个等式两边分别相加,得：
$ \frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $.
用你发现的规律解答下列问题.
(1)直接写出下列各式的计算结果：
① $ \frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + … + \frac{1}{2020 × 2021} = $$\frac{2020}{2021}$；
② $ \frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + … + \frac{1}{n(n + 1)} = $$\frac{n}{n + 1}$.
(2)仿照题中的计算形式,猜想并写出：$ \frac{1}{n(n + 3)} = $$\frac{1}{3}×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 3})$.
(3)解方程：$ \frac{1}{x(x + 3)} + \frac{1}{(x + 3)(x + 6)} + \frac{1}{(x + 6)(x + 9)} = \frac{3}{2x + 18} $.
根据$\frac{1}{n(n + 3)}=\frac{1}{3}×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 3})$，原方程可化为：$\frac{1}{3}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 3})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{x + 3}-\frac{1}{x + 6})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{x + 6}-\frac{1}{x + 9})=\frac{3}{2(x + 9)}$，$\frac{1}{3}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 9})=\frac{3}{2(x + 9)}$，$\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 9}=\frac{9}{2(x + 9)}$，$\frac{9}{x(x + 9)}=\frac{9}{2(x + 9)}$，$\frac{1}{x(x + 9)}=\frac{1}{2(x + 9)}$，$2(x + 9)=x(x + 9)$，$x^2 + 7x - 18 = 0$，$(x + 9)(x - 2)=0$，解得$x = 2$或$x=-9$。经检验，$x=-9$是增根，舍去。所以原方程的解为$x = 2$。

答案：
(1)①
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{2020×2021}$
$=1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}$
$=1-\frac{1}{2021}$
$=\frac{2020}{2021}$
②
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{n(n + 1)}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$
$=1-\frac{1}{n + 1}$
$=\frac{n}{n + 1}$
(2)
$\frac{1}{n(n + 3)}=\frac{1}{3}×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 3})$
(3)
根据$\frac{1}{n(n + 3)}=\frac{1}{3}×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 3})$，
原方程$\frac{1}{x(x + 3)}+\frac{1}{(x + 3)(x + 6)}+\frac{1}{(x + 6)(x + 9)}=\frac{3}{2x + 18}$可化为：
$\frac{1}{3}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 3})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{x + 3}-\frac{1}{x + 6})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{x + 6}-\frac{1}{x + 9})=\frac{3}{2(x + 9)}$
$\frac{1}{3}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 9})=\frac{3}{2(x + 9)}$
$\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 9}=\frac{9}{2(x + 9)}$
$\frac{x + 9 - x}{x(x + 9)}=\frac{9}{2(x + 9)}$
$\frac{9}{x(x + 9)}=\frac{9}{2(x + 9)}$
$\frac{1}{x(x + 9)}=\frac{1}{2(x + 9)}$
$2(x + 9)=x(x + 9)$
$2x+18=x^{2}+9x$
$x^{2}+7x - 18=0$
$(x + 9)(x - 2)=0$
解得$x = 2$或$x=-9$。
经检验，$x=-9$是增根，舍去。
所以原方程的解为$x = 2$。
综上，答案依次为：
(1)①$\frac{2020}{2021}$；②$\frac{n}{n + 1}$；
(2)$\frac{1}{3}×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 3})$；
(3)$x = 2$。