《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

20. (本题 9 分)
已知 $ \frac{x}{x^2 - 3x + 1} = \frac{1}{5} $.
(1)求 $ \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} $ 的值；
(2)求 $ 2x^2 - 8x + \frac{1}{x^2} $ 的值.

答案： 由$\frac{x}{x^{2} - 3x + 1} =\frac{1}{5}$，且$x\neq0$（若$x = 0$，原式分母为$1$，$\frac{0}{1}\neq\frac{1}{5}$），分子分母同时除以$x$得：
$\frac{1}{x - 3+\frac{1}{x}}=\frac{1}{5}$，
则$x - 3+\frac{1}{x}=5$，
所以$x+\frac{1}{x}=8$。
(1)
对$x+\frac{1}{x}=8$两边平方得$(x+\frac{1}{x})^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}} = 64$，
则$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=62$。
又因为$\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}}=x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}}$，
把$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 62$代入得$x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}}=63$，
所以$\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}=\frac{1}{63}$。
(2)
由$x+\frac{1}{x}=8$得$x^{2}+1 = 8x$，即$x^{2}=8x - 1$。
$2x^{2}-8x+\frac{1}{x^{2}}=2(8x - 1)-8x+\frac{1}{x^{2}}$
$=16x-2 - 8x+\frac{1}{x^{2}}=8x-2+\frac{1}{x^{2}}$
因为$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 62$，且$x^{2}=8x - 1$，
$2x^{2}-8x+\frac{1}{x^{2}}=(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})+(x^{2}-8x + 1)-1$
把$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 62$，$x^{2}-8x+1 = 0$代入上式得：
$2x^{2}-8x+\frac{1}{x^{2}}=62+0 - 1=61$。
综上，答案依次为：
(1)$\frac{1}{63}$；
(2)$61$。