《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

24. (本题 12 分)
(1)如图甲,等边$\triangle ABC$ 内有一点 $P$,若 $AP = 8$,$BP = 15$,$CP = 17$,求$\angle APB$ 的大小。
(提示：将$\triangle ABP$ 绕顶点 $A$ 旋转到$\triangle ACP^{\prime}$处)

(2)如图乙,在$\triangle ABC$ 中,$\angle CAB = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$E$,$F$ 为 $BC$ 上的点,且$\angle EAF = 45^{\circ}$。求证：$EF^{2}= BE^{2}+FC^{2}$。

(3)如图丙,在$\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,点 $O$ 为$\triangle ABC$ 内一点,连接 $AO$,$BO$,$CO$,且$\angle AOC= \angle COB= \angle BOA = 120^{\circ}$,若 $AC = 1$,求 $OA + OB + OC$ 的值。

答案： 24.
(1) 将△ABP绕点A旋转至△ACP'，则AP=AP'=8，BP=CP'=15，∠PAP'=60°，
∴△APP'为等边三角形，PP'=8，∠APP'=60°。在△PP'C中，PP'=8，CP'=15，CP=17，
∵8²+15²=17²，
∴∠PP'C=90°。∠APB=∠AP'C=∠APP'+∠PP'C=60°+90°=150°。
(2) 将△ABE绕点A旋转90°至△ACG，连FG。则AE=AG，BE=CG，∠BAE=∠CAG，∠ACG=∠ABE=45°。
∵∠EAF=45°，∠BAC=90°，
∴∠GAF=∠CAG+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF。
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，EF=GF。
∵∠GCF=∠ACG+∠ACB=45°+45°=90°，
∴GF²=CG²+FC²，即EF²=BE²+FC²。
(3) 将△BOC绕点C顺时针旋转60°至△B'O'C，连OO'。则OC=O'C，∠OCO'=60°，△OO'C为等边三角形，OO'=OC，∠COO'=60°。∠BO'C=∠BOC=120°，
∴∠BO'O=60°。△BCB'为等边三角形，BB'=BC=√3，∠CBB'=60°。∠ABB'=∠ABC+∠CBB'=30°+60°=90°。AB=2，
∴AB'=√(AB²+BB'²)=√(2²+(√3)²)=√7。OA+OB+OC=OA+OO'+O'B'=AB'=√7。
(1) 150°；
(2) 证明见上；
(3) √7。