《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

17. (本题 9 分)
(1)化简：$ \left( \frac{1}{x - 2} + 1 \right) ÷ \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 2} $,并从 $ -1 $,$ 0 $,$ 1 $,$ 2 $ 中选取一个合适的数作为 $ x $ 的值代入求值.
(2)解方程：$ \frac{2x + 9}{3x - 9} = \frac{4x - 7}{x - 3} + 2 $.

答案：
(1)
首先化简式子：
$\left( \frac{1}{x - 2} + 1 \right) ÷ \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 2}$
$=\left( \frac{1}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} \right) ÷ \frac{(x - 1)^{2}}{x - 2}$
$=\frac{x - 1}{x - 2} × \frac{x - 2}{(x - 1)^{2}}$
$=\frac{1}{x - 1}$
因为分母不能为 0，所以$x - 2\neq 0$，即$x\neq 2$；
$x - 1\neq 0$，即$x\neq 1$。
所以当$x = - 1$时，原式$=\frac{1}{-1 - 1}=-\frac{1}{2}$。
(2)
方程两边同乘$3(x - 3)$得：
$2x + 9 = 3(4x - 7) + 6(x - 3)$
$2x + 9 = 12x - 21 + 6x - 18$
$2x + 9 = 18x - 39$
$16x = 48$
$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$3(x - 3)=0$，
所以$x = 3$是增根，原方程无解。