《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

23. (本题 12 分)
如图甲,有足够多的边长为$a$的小正方形($A$类)和长为$a$,宽为$b$的长方形($B$类),以及边长为$b$的大正方形($C$类),利用图甲中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式. 比如图乙可以解释：$(a + 2b)(a + b) = a^{2} + 3ab + 2b^{2}$.
(1)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形,使其面积为$3a^{2} + 5ab + 2b^{2}$,在虚框中画出图形,并根据所画图形,将多项式$3a^{2} + 5ab + 2b^{2}$分解因式为______.(2)如图丙是用$B$类长方形(4 个)拼成的图形,其中四边形$ABCD$是大正方形,边长为$m$,里面是一个空的小正方形,边长为$n$. 观察图案并判断,将正确关系式的序号填写在横线上：______.
① $m^{2} + n^{2} = 2(a^{2} + b^{2})$；② $a^{2} - b^{2} = mn$；③ $m^{2} - n^{2} = 4ab$.

(1)$(3a + 2b)(a + b)$
(2)③

答案： （1）图形拼法不唯一，以下是一种可能：
取$3$个A类，$5$个B类，$2$个C类，拼成一个长方形如下（排列方式描述）：
长度方向为$a + 2b$，宽度方向为$3a + 2b$（或其他等效排列），
根据图形，$3a^{2}+5ab + 2b^{2}=(3a + 2b)(a + b)$；
故答案为：$(3a + 2b)(a + b)$；
（2）③