《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

19. (本题 5 分)
若 $(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)+k$ 是完全平方式,则 $k$ 的值为多少？

答案： 首先，将给定的多项式相乘：
$(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) + k$
$= (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) + k$
$= (x^{2} + 7x + 10)(x^{2} + 7x + 12) + k$
令 $x^{2} + 7x = y$，代入上式得：
$(y + 10)(y + 12) + k$
$= y^{2} + 22y + 120 + k$
由于该多项式是完全平方数，那么它可以表示为 $(y + a)^{2}$ 的形式。
对比系数，得到：
$y^{2} + 22y + 120 + k = y^{2} + 2ay + a^{2}$
从中，可以得到：
$2a = 22$
$a^{2} = 120 + k$
由 $2a = 22$，解得 $a = 11$。
代入 $a^{2} = 120 + k$，得到：
$121 = 120 + k$
解得：
$k = 1$
故答案为：1。

20. (本题 5 分)
计算：$(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})…(1-\frac{1}{2020^{2}})$。

答案： 原式$= (1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3}) \cdots (1 - \frac{1}{2020})(1 + \frac{1}{2020})$
$= \frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × \frac{5}{4} × \cdots × \frac{2019}{2020} × \frac{2021}{2020}$
$= \frac{1}{2} × \frac{2021}{2020}$
$= \frac{2021}{4040}$