《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

17. (本题 8 分)
如图,$E$,$F分别是□ ABCD的边BC$,$AD$上的点,且$\angle 1= \angle 2$.
求证：$AE= CF$.

答案： 证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
根据平行四边形性质，得$AD// BC$，
所以$\angle 2 = \angle FEC$（两直线平行，内错角相等）。
因为$\angle 1 = \angle 2$，
所以$\angle 1 = \angle FEC$。
根据等角对等边，在$\triangle AEF$（假设$AE$与$CF$相交于点构成该三角形相关角度关系，这里通过角度相等关系推导边的关系）中，
可得$AE// CF$（同位角相等，两直线平行，由$\angle 1$与$\angle FEC$是同位角得出）。
又因为$AD// BC$，即$AF// EC$。
所以四边形$AECF$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形性质，得$AE = CF$。

18. (本题 8 分)
如图,$□ ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,$E$,$F分别是OA$,$OC$的中点.
求证：$BE= DF$.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=OA/2，OF=OC/2，
又
∵OA=OC，
∴OE=OF。
在△BOE和△DOF中，
OB=OD（已证），
∠BOE=∠DOF（对顶角相等），
OE=OF（已证），
∴△BOE≌△DOF（SAS）。
∴BE=DF（全等三角形对应边相等）。