《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

23. (本题 10 分)
(1)现有若干张长方形和正方形硬纸片,它们的大小如图甲所示,用若干张这样的硬纸片拼成一个新的正方形,如图乙。
① 用两种不同的方法计算图乙中正方形的面积；
② 由①,你可以得出的一个等式为$(a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1$。
(2)现有若干张长方形和正方形硬纸片,它们的大小如图丙所示。
① 请你用拼图的方法推出完全平方公式 $(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$,画出你的拼图；
② 请你用拼图的方法推出 $2a^{2}+5ab + 2b^{2}$ 因式分解的结果,画出你的拼图。

答案：
(1)①方法一：图乙正方形边长为$a + 1$，面积为$(a + 1)^2$；
方法二：图乙由1个$a×a$正方形、2个$a×1$长方形和1个$1×1$正方形组成，面积为$a^2 + 2a×1 + 1^2 = a^2 + 2a + 1$。
②$(a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1$
(2)①拼图：用1个边长为$a$的正方形、2个长为$a$宽为$b$的长方形和1个边长为$b$的正方形，拼成边长为$(a + b)$的大正方形。大正方形面积$(a + b)^2$，各部分面积和$a^2 + 2ab + b^2$，故$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
②拼图：用2个边长为$a$的正方形、5个长为$a$宽为$b$的长方形和2个边长为$b$的正方形，拼成长为$(2a + b)$、宽为$(a + 2b)$的长方形。长方形面积$(2a + b)(a + 2b)$，各部分面积和$2a^2 + 5ab + 2b^2$，故$2a^2 + 5ab + 2b^2 = (2a + b)(a + 2b)$。