《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

24. (本题满分12分)
如图甲,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = BC$,点D,E分别在边AC,BC上,$CD = CE$,连接AE,点F,H,G分别为DE,AE,AB的中点.
(1)观察猜想:图甲中,线段FH与GH的数量关系是$\underline{\quad\quad}$,位置关系是$\underline{\quad\quad}$.
(2)探究证明:把$\triangle CDE$绕点C沿顺时针方向旋转到图乙的位置,连接AD,AE,BE,判断$\triangle FHG$的形状,并说明理由.
(3)拓展延伸:把$\triangle CDE$绕点C在平面内自由旋转,若$CD = 4$,$AC = 8$,请直接写出$\triangle FHG$面积的最大值.


(1)FH=GHFH⊥GH
(2)△FHG是等腰直角三角形。理由如下：连接AD，BE。∵H，G分别为AE，AB中点，∴HG是△ABE中位线，∴HG=1/2BE，HG//BE。∵H，F分别为AE，DE中点，∴FH是△ADE中位线，∴FH=1/2AD，FH//AD。∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°。∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，即∠ACD=∠BCE。∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∠CAD=∠CBE。∴FH=HG。设AD与BC交于点M，BE与AD交于点N。∵∠CAD=∠CBE，∠AMC=∠BMD，∴∠BNM=∠ACB=90°，即AD⊥BE。∵FH//AD，HG//BE，∴FH⊥HG。∴△FHG是等腰直角三角形。
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答案： 24.
(1) FH=GH；FH⊥GH
(2) △FHG是等腰直角三角形。理由如下：
连接AD，BE。
∵H，G分别为AE，AB中点，
∴HG是△ABE中位线，
∴HG=1/2BE，HG//BE。
∵H，F分别为AE，DE中点，
∴FH是△ADE中位线，
∴FH=1/2AD，FH//AD。
∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°。
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，即∠ACD=∠BCE。
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE。
∴FH=HG。
设AD与BC交于点M，BE与AD交于点N。
∵∠CAD=∠CBE，∠AMC=∠BMD，
∴∠BNM=∠ACB=90°，即AD⊥BE。
∵FH//AD，HG//BE，
∴FH⊥HG。
∴△FHG是等腰直角三角形。
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