《2025年同步练习册配套检测卷八年级数学上册鲁教版五四制》

22. (本题 12 分)
已知多项式 $ 2 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + m $ 分解因式后有一个因式是 $ 2 x + 1 $,求 $ m $ 的值.
解:设 $ 2 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + m = A ( 2 x + 1 ) $($ A $ 为整式),
由于上式为恒等式,为方便计算,取 $ x = - \frac { 1 } { 2 } $,则 $ 2 \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 3 } - \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + m = 0 $,故 $ m = \frac { 1 } { 2 } $.
根据以上题目的解答过程,回答下列问题.
(1) 多项式 $ a x ^ { 2 } - 3 x + 8 $ 分解因式后有一个因式是 $ x - 3 $,求 $ a $ 的值；
(2) 若将多项式 $ x ^ { 4 } + a x ^ { 3 } + b x - 16 $ 分解因式,结果中有因式 $ ( x - 1 ) $ 和 $ ( x - 2 ) $,求 $ a $,$ b $ 的值.

答案：
(1)设$ax^{2} - 3x + 8 = A(x - 3)$（$A$为整式），
因为上式为恒等式，取$x = 3$，
则$a×3^{2}-3×3 + 8 = 0$，
即$9a-9 + 8 = 0$，
$9a-1 = 0$，
解得$a=\frac{1}{9}$。
(2)设$x^{4}+ax^{3}+bx - 16=A(x - 1)(x - 2)$（$A$为整式），
因为上式为恒等式，
当$x = 1$时，$1^{4}+a×1^{3}+b×1 - 16 = 0$，即$1 + a + b-16 = 0$，$a + b=15$ ①；
当$x = 2$时，$2^{4}+a×2^{3}+b×2 - 16 = 0$，即$16 + 8a+2b-16 = 0$，$8a+2b = 0$，$4a + b = 0$ ②；
由②$-$①得：$4a + b-(a + b)=0 - 15$，
$4a + b - a - b=-15$，
$3a=-15$，
解得$a=-5$；
把$a = - 5$代入①得：$-5 + b=15$，
解得$b = 20$。
综上，
(1)中$a$的值为$\frac{1}{9}$；
(2)中$a$的值为$-5$，$b$的值为$20$。