《2025年同步练习册北京师范大学出版社六年级数学上册鲁教版54制》

7. 观察下列等式：$1×\frac{1}{2}= 1 - \frac{1}{2}$,$2×\frac{2}{3}= 2 - \frac{2}{3}$,$3×\frac{3}{4}= 3 - \frac{3}{4}$,…。完成下列任务：
(1)请写出第 9 个等式；
(2)写出第 $n$ 个等式。

答案： 解:
(1)$9 × \frac{9}{10} = 9 - \frac{9}{10}$。
(2)$n \cdot \frac{n}{n + 1} = n - \frac{n}{n + 1}$。

8. 阶梯的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第 1 个至第 4 个台阶上依次标着$-5$,$-2$,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等。
尝试
(1)前 4 个台阶上的数的和是多少？
(2)第 5 个台阶上的数是多少？
应用
(3)从下到上前 31 个台阶上的数的和是多少？
发现
(4)试用含 $k$($k$ 为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数。

答案： 解:
(1)$-5 - 2 + 1 + 9 = 3$。
(2)由题得$-2 + 1 + 9 + x = 3$,解得$x = -5$。
(3)每 4 个数的和为 3,前 31 个数的和为$7 × 3 + (-5 - 2 + 1) = 15$。
(4)发现“1”出现在每组 4 个数的第 3 个，也就是第 3 个,第 7 个,第 11 个……且$3 = 4 × 1 - 1$,$7 = 4 × 2 - 1$,$11 = 4 × 3 - 1$,…,“1”所在的台阶数为$(4k - 1)$。

(综合与实践)下列图形都是由面积为 1 的小正方形按一定的规律无间隙且不重叠地拼接而成的。
其中,第 1 个图形中共有 9 个面积为 1 的正方形；第 2 个图形中共有 14 个面积为 1 的正方形；第 3 个图形中共有 19 个面积为 1 的正方形……若按照此规律,第 $n$ 个图形中共有$(5n + 4)$个面积为 1 的正方形。

答案： $(5n + 4)$