《2025年同步练习册北京师范大学出版社六年级数学上册鲁教版54制》

13. 按照下列步骤做一做：
(1)任意写一个两位数；
(2)交换这个两位数的十位数字和个位数字,得到一个新数；
(3)求这两个两位数的差。
再写几个两位数重复上面的过程,所得的差有什么规律？

答案： 解:答案不唯一。
(1)24
(2)42
(3)42-24=18。其他列举略,这些差是9的倍数。设原两位数的十位数字为b,个位数字为a(b＞a),则原两位数为10b+a,交换后的两位数为10a+b,10b+a-(10a+b)=10b+a-10a-b=9b-9a=9(b-a)。

(数学文化)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一个。如图,这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是 1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了 $(a+b)^{n}$($n$ 为正整数)的展开式(按 $a$ 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律。例如,在三角形中第三行的三个数 1,2,1,恰好对应着 $(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$ 展开式中各项的系数；第四行的四个数 1,3,3,1,恰好对应着 $(a+b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ 展开式中各项的系数。

(1)根据上面的规律,写出 $(a+b)^{5}$ 的展开式；
(2)利用(1)的规律计算：$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2-1$。

答案：
(1)$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$。
(2)$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2-1=(2-1)^{5}=1$。