《2025年同步练习册北京师范大学出版社六年级数学上册鲁教版54制》

11. 如图,长方形纸片上的阴影部分恰好能围成一个圆柱(阴影部分的四边形是正方形),设圆的半径为 $ R $。
(1)用含 $ R $ 的代数式表示圆柱的体积；
(2)当 $ R = 8 cm $,$ \pi $ 取 3.14 时,求圆柱的体积。(精确到 $ 0.1 cm^3 $)

答案： 1. （1）
首先求圆柱的高$h$和底面积$S$：
已知圆的半径为$R$，根据圆的周长公式$C = 2\pi R$，因为阴影部分的四边形是正方形，所以圆柱的高$h$等于底面圆的周长，即$h=2\pi R$。
根据圆的面积公式$S=\pi R^{2}$。
再根据圆柱的体积公式$V = Sh$（其中$S$是底面积，$h$是高），将$S=\pi R^{2}$，$h = 2\pi R$代入可得：
$V=\pi R^{2}\cdot2\pi R$。
化简$V = 2\pi^{2}R^{3}$。
2. （2）
当$R = 8cm$，$\pi=3.14$时：
把$R = 8$，$\pi = 3.14$代入$V = 2\pi^{2}R^{3}$中。
$V=2×3.14^{2}×8^{3}$。
先计算$3.14^{2}=9.8596$，$8^{3}=512$。
则$V=2×9.8596×512$。
$V = 19.7192×512$。
$V=10096.2304\approx10096.2cm^{3}$。
综上，（1）圆柱体积$V = 2\pi^{2}R^{3}$；（2）圆柱体积约为$10096.2cm^{3}$。

12. 某班数学活动小组的同学们用纸板制作长方体包装盒,其表面展开图和相关尺寸(单位：mm)如下,其中阴影部分为内部粘贴角料,求此长方体包装盒的体积。
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答案： 解:由题意,知此长方体的长为 70 mm,宽为 65 mm,高为 40 mm,则此长方体包装盒的体积为 70×65×40 = 182 000(mm³)。

13. 如图所示的长方形是圆柱的侧面展开图,已知这个长方形相邻的两边长分别为 6,$ 4\pi $,求圆柱的体积。

答案： 解:①以$4\pi$为底面周长,6 为高,此时圆柱的底面半径为$\frac{4\pi}{2\pi}=2$,所以圆柱的体积为$\pi×2^{2}×6=24\pi$。②以 6 为圆柱的底面周长,$4\pi$为高,此时圆柱的底面半径为$\frac{6}{2\pi}=\frac{3}{\pi}$,所以圆柱的体积为$\pi×\left(\frac{3}{\pi}\right)^{2}×4\pi=36$。所以圆柱的体积为$24\pi$或 36。

(综合与实践)小强在学习“从立体图形到平面图形”时,对探究正方体的表面展开图产生了浓厚的兴趣,他发现正方体的表面展开图是由 6 个大小相同的正方形拼接而成的,并在方格纸上先画出了如图所示的 5 个正方形(阴影部分)。请你再画 1 个正方形,使它成为正方体的表面展开图。
要求：(1)给出三种画法；
(2)将所画的正方形涂上阴影。

答案：
解:答案不唯一。