《2025年全优新同步八年级数学上册浙教版》

12. (1)如图1所示,求证：∠ABC= ∠A+∠C+∠ADC。
(2)如图2所示,若∠A= 52°,∠C= 20°,BE,DE分别平分∠ABC和∠ADC,且交于点E,求∠E的度数。

答案：

(1)证明:如图1所示，连结DB，延长DB到点T。
　　　　　　 　　
∵∠ABT = ∠A + ∠ADB，∠CBT = ∠C + ∠CDB，
∴∠ABC = ∠ABT + ∠CBT = ∠A + ∠ADB + ∠CDB + ∠C = ∠A + ∠ADC + ∠C。
(2)如图2所示，设DE交AB于点O。
∵∠ABC = ∠A + ∠ADC + ∠C，BE平分∠ABC，
∴∠OBE = $\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(\angle A+\angle ADC+\angle C)$。
∵∠A + ∠ADO = ∠E + ∠OBE，
∴∠E = ∠A + ∠ADO - ∠OBE。
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE = $\frac{1}{2}\angle ADC$。
∴∠E = ∠A + $\frac{1}{2}\angle ADC - \frac{1}{2}(\angle A+\angle ADC+\angle C)=\frac{1}{2}(\angle A - \angle C)=\frac{1}{2}×(52^{\circ}-20^{\circ}) = 16^{\circ}$。

13. 小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图1所示,在△ABC中,∠C＞∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D。猜想∠B,∠C,∠EAD的数量关系,并说明理由。

(1)小亮阅读题目后,没有发现数量关系与解题思路。于是尝试代入∠B,∠C的值求∠EAD值,得到下面几组对应值：
|∠B|10°|30°|30°|20°|20°|
|∠C|70°|70°|60°|60°|80°|
|∠EAD|30°|20°|15°|α°|30°|

上表中α= ______。
(2)猜想∠B,∠C,∠EAD的数量关系,并说明理由。
(3)小亮突发奇想,交换B,C两个字母的位置,如图2所示,过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于点D,当∠B= 80°,∠C= 20°时,∠F的度数为______。

答案：

(1)20
(2)猜想:∠EAD = $\frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$。
理由如下:
∵AD⊥BC，
∴∠DAC = 90° - ∠C。
∵AE平分∠BAC，∠BAC = 180° - ∠B - ∠C，
∴∠EAC = $\frac{1}{2}\angle BAC = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C$。
∴∠EAD = ∠EAC - ∠DAC = 90° - $\frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C-(90^{\circ}-\angle C)=\frac{1}{2}(\angle C - \angle B)$。
(3)如图所示，过点A作AH⊥CD于点H。
　　　　　　　　
∵AH⊥CD，FD⊥CD，
∴AH//DF。
∴∠F = ∠EAH = $\frac{1}{2}(\angle ABC - \angle C)=\frac{1}{2}×(80^{\circ}-20^{\circ}) = 30^{\circ}$。
故答案为:30°。