《2025年全优新同步八年级数学上册浙教版》

9. 如图所示,点E在等腰三角形ABC的底边上的高AD上,且BE⊥CE,若∠BAC= 70°,则∠ABE的度数为( )

A.25°
B.20°
C.15°
D.10°

答案： D

10. 如图所示,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 130°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,连结AF,则∠FAC= ______。

答案： 105°

11. 如图所示,在△ABC中,AB= AC,∠BAC的平分线AD与∠ABC的平分线BG相交于点E,过点E向AB边作垂线EF,DE与EF相等吗?请说明理由。

答案： DE = EF。理由如下:
∵AB = AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC。
∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴DE = EF。

12. 如图所示,在△ABC中,AB= AC,点D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F。
(1)求证:点O在AB的垂直平分线上。
(2)若∠CAD= 20°,求∠BOF的度数。

答案：
(1)
∵AB = AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC。
∵AD是BC的垂直平分线，
∴BO = CO。
∵OE是AC的垂直平分线，
∴AO = CO。
∴BO = AO。
∴△AOB是等腰三角形，O是其顶点。
∴点O在AB的垂直平分线上。
(2)
∵AB = AC，点D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC。
∵∠CAD = 20°，
∴∠BAD = ∠CAD = 20°，∠CAB = 40°。
∵OE⊥AC，
∴∠EFA = 90° - 40° = 50°。
∵AO = BO，
∴∠OBA = ∠BAD = 20°。
∴∠BOF = ∠EFA - ∠OBA = 50° - 20° = 30°。

13. 如图所示,在△ABC中,AB= BC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点D,交AC于点F。
(1)若∠AFD= 155°,求∠A的度数。
(2)若F是AC的中点,求证:∠CFD= $\frac{1}{2}$∠B。

答案：

(1)
∵∠AFD = 155°，
∴∠DFC = 25°。
∵DF⊥BC，
∴∠FDC = 90°。
∴∠C = 90° - 25° = 65°。
∵AB = BC，
∴∠A = ∠C = 65°。
(2)如图所示，连结BF。
∵AB = BC，且F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF = ∠CBF = $\frac{1}{2}$∠ABC。
∴∠CFD + ∠BFD = 90°。又
∵DF⊥BC，
∴∠CBF + ∠BFD = 90°。
∴∠CFD = ∠CBF。
∴∠CFD = $\frac{1}{2}$∠ABC。