《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社七年级数学鲁教版54制》

3.(2024·湖南模拟)解分式方程$\frac{x}{2x-1}+\frac{2}{1-2x}= 3$时,去分母化为一元一次方程,正确的是(C)
A.$x+2= 3$
B.$x-2= 3$
C.$x-2= 3(2x-1)$
D.$x+2= 3(2x-1)$

答案： C

4. 分式方程$\frac{8}{x^{2}+x}-\frac{2}{x^{2}-x}= \frac{4}{x^{2}-1}$的最简公分母是(D)
A.$x^{2}-1$
B.$x(x-1)$
C.$x(x+1)$
D.$x(x+1)(x-1)$

答案： D

5. 解方程：
(1)$\frac{3-x}{x-2}+\frac{x}{2-x}= 1$；
解：方程两边同乘 $ (x - 2) $，得$3 - x - x = x - 2$。
移项，得$-x - x - x = -2 - 3$。
合并同类项，得$-3x = -5$。
解得$x = \frac{5}{3}$。
检验：当 $ x = \frac{5}{3} $ 时，$ x - 2≠0 $。
$∴x = \frac{5}{3} $ 是原方程的根。
(2)$\frac{2}{3}+\frac{x}{3x - 1}= \frac{1}{9x - 3}$。
解：原方程可化为$\frac{2}{3} + \frac{x}{3x - 1} = \frac{1}{3(3x - 1)}$。
方程两边同乘 $ 3(3x - 1) $，得$2(3x - 1) + 3x = 1$。
去括号，得$6x - 2 + 3x = 1$。
移项，合并同类项，得$9x = 3$。
解得$x = \frac{1}{3}$。
检验：当 $ x = \frac{1}{3} $ 时，$ 9x - 3 = 0 $。
$∴x = \frac{1}{3} $ 是原方程的增根，应舍去。
$∴$ 原方程无解。

答案： 解：
(1) $ \frac{3-x}{x-2}+\frac{x}{2-x}=1 $，
方程两边同乘 $ (x-2) $，
得 $ 3-x-x=x-2 $。
移项，得 $ -x-x-x=-2-3 $。
合并同类项，得 $ -3x=-5 $。
解得 $ x=\frac{5}{3} $。
检验：当 $ x=\frac{5}{3} $ 时， $ x-2≠0 $。
$ ∴x=\frac{5}{3} $ 是原方程的根。
(2) $ \frac{2}{3}+\frac{x}{3x-1}=\frac{1}{9x-3} $，
原方程可化为 $ \frac{2}{3}+\frac{x}{3x-1}=\frac{1}{3(3x-1)} $。
方程两边同乘 $ 3(3x-1) $，
得 $ 2(3x-1)+3x=1 $。
去括号，得 $ 6x-2+3x=1 $。
移项，合并同类项，得 $ 9x=3 $。
解得 $ x=\frac{1}{3} $。
检验：当 $ x=\frac{1}{3} $ 时， $ 9x-3=0 $。
$ ∴x=\frac{1}{3} $ 是原方程的增根，应舍去。
$ ∴ $ 原方程无解。

例题3 已知方程$\frac{1}{4-x^{2}}+2= \frac{m}{x-2}$有增根,求m的值。
 

答案： 【解析】：本题可根据增根的性质来求解$m$的值。首先，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为$0$的根。所以先将原分式方程去分母化为整式方程，再找出使原分式方程分母为$0$的增根，最后将增根代入整式方程求出$m$的值。
**步骤一：将分式方程化为整式方程**
给方程$\frac{1}{4 - x^2} + 2 = \frac{m}{x - 2}$两边同时乘以$(4 - x^2)$（$4 - x^2=(2 + x)(2 - x)$）去分母得：
$1 + 2(4 - x^2) = -m(2 + x)$
**步骤二：确定增根**
因为增根会使原分式方程的分母为$0$，所以令$4 - x^2 = 0$或$x - 2 = 0$，即$(2 + x)(2 - x)=0$或$x - 2 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -2$。
**步骤三：将增根代入整式方程求$m$的值**
把$x_1 = 2$代入整式方程$1 + 2(4 - x^2) = -m(2 + x)$得：
$1 + 2×(4 - 2^2) = -m×(2 + 2)$
$1 + 2×(4 - 4) = -4m$
$1 = -4m$
解得$m = -\frac{1}{4}$。
把$x_2 = -2$代入整式方程$1 + 2(4 - x^2) = -m(2 + x)$得：
$1 + 2×[4 - (-2)^2] = -m×(2 - 2)$
$1 + 2×(4 - 4) = 0$
$1 = 0$，此等式不成立，所以$x = -2$不是增根。
综上，$x = 2$是方程的增根，$m$的值为$-\frac{1}{4}$。
【答案】：$-\frac{1}{4}$

6.(2021·黑龙江)若关于x的分式方程$\frac{2x-b}{x-2}= 3$的解是非负数,则b的取值范围是(B)
A.$b≠4$
B.$b≤6且b≠4$
C.$b＜6且b≠4$
D.$b＜6$

答案： B