《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社七年级数学鲁教版54制》

把乘法公式反过来,就可以把多项式分解因式,这种分解因式的方法叫公式法。

答案： 公式法

2. 平方差公式
(1) 公式：$a^{2}-b^{2}= $$(a + b)(a - b)$。
(2) 语言叙述：两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。
注意(1) 首先确定所给多项式是否符合：①两项；②符号相反；③都是平方数这三个条件。
(2) 其次确定好$a$,$b$,套用公式。
(3) 如果各项有公因式,应先提公因式,再考虑应用公式法,直至每一个因式不能分解为止。

答案： $(a + b)(a - b)$

3. 完全平方公式
公式：$a^{2}\pm 2ab+b^{2}= $$(a \pm b)^2$。
左边：(1) 多项式是三项式。(2) 首末两项是两个数(或整式)的平方和。(3) 中间项是这两个数(或整式)积的2倍,符号可取“+”或“-”。
右边：是两个数和(或差)的完全平方。

答案： $(a \pm b)^2$

4. 可化为$x^{2}+(a+b)x+ab$型的二次三项式的因式分解
当$m= $$a + b$,$n= $$ab$时,$x^{2}+mx+n= $$(x + a)(x + b)$。

答案： $a + b$ $ab$ $(x + a)(x + b)$

考点1 用平方差公式因式分解
例题1 把下列各式因式分解：
(1)$\frac {4}{9}m^{2}-0.01n^{2}$；
(2)$-144a^{2}+25b^{2}$；
(3)$16(a-b)^{2}-9(a+b)^{2}$；
(4)$(a-b)^{n+2}-(a-b)^{n}$。
 

答案： 【解析】：
(1) 对于$\frac {4}{9}m^{2}-0.01n^{2}$，先将其变形为$(\frac {2}{3}m)^{2}-(0.1n)^{2}$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$的形式，其中$a=\frac{2}{3}m$，$b = 0.1n$，所以可因式分解为$(\frac {2}{3}m+0.1n)(\frac {2}{3}m-0.1n)$。
(2) 对于$-144a^{2}+25b^{2}$，先交换两项的位置变为$25b^{2}-144a^{2}$，再变形为$(5b)^{2}-(12a)^{2}$，符合平方差公式，其中$a = 12a$，$b = 5b$，则因式分解结果为$(5b+12a)(5b-12a)$。
(3) 对于$16(a - b)^{2}-9(a + b)^{2}$，变形为$[4(a - b)]^{2}-[3(a + b)]^{2}$，符合平方差公式，其中$a = 4(a - b)$，$b = 3(a + b)$，利用平方差公式展开$[4(a - b)+3(a + b)][4(a - b)-3(a + b)]$，再去括号化简：
$\begin{aligned}&[4(a - b)+3(a + b)][4(a - b)-3(a + b)]\\=&(4a-4b + 3a+3b)(4a-4b-3a - 3b)\\=&(7a - b)(a - 7b)\end{aligned}$
(4) 对于$(a - b)^{n+2}-(a - b)^{n}$，先提取公因式$(a - b)^{n}$，得到$(a - b)^{n}[(a - b)^{2}-1]$，而$(a - b)^{2}-1$可变形为$(a - b)^{2}-1^{2}$，符合平方差公式，其中$a=a - b$，$b = 1$，继续因式分解为$(a - b)^{n}[(a - b)+1][(a - b)-1]=(a - b)^{n}(a - b + 1)(a - b - 1)$。
【答案】：
(1)$(\frac {2}{3}m+0.1n)(\frac {2}{3}m-0.1n)$；
(2)$(5b+12a)(5b-12a)$；
(3)$(7a - b)(a - 7b)$；
(4)$(a - b)^{n}(a - b + 1)(a - b - 1)$

1. 判断：下列各式能不能写成平方差的形式(能的画“√”,不能的画“×”)。
(1)$x^{2}+64$ (×)
(2)$-x^{2}-4y^{2}$ (×)
(3)$9x^{2}-16y^{4}$ (√)
(4)$-\frac {1}{4}x^{6}+9n^{2}$ (√)
(5)$-9x^{2}-(-y)^{2}$ (×)
(6)$-9x^{2}+(-y)^{2}$ (√)
(7)$(-9x)^{2}-y^{2}$ (√)
(8)$(-9x)^{2}-(-y)^{2}$ (√)

答案：
(1)×
(2)×
(3)√
(4)√
(5)×
(6)√
(7)√
(8)√

牛郎和织女(—)

牛郎星离地球16.5光年·也就是以光的速度运行到地球要16.5年．织女星离地球26.5光年.如果牛郎和织女同时由各自的星球以最快的速度赶到地球相会﹐那么牛郎要在地球上等多少年才能见到织女?而见一面之后﹐织女又匆匆赶回﹐牛郎至少要再等多少年，才能与织女相会?

答案： 1. 首先计算牛郎要在地球上等多少年才能见到织女：
已知光的速度是固定的，根据时间差公式$\Delta t=t_{织}-t_{牛}$，其中$t = \frac{s}{v}$（$s$为距离，$v$为速度），因为$v$相同，所以$\Delta t=\frac{s_{织}}{v}-\frac{s_{牛}}{v}$（$s_{织}=26.5$光年，$s_{牛}=16.5$光年）。
光年是光在一年中走过的距离，$v = c$（$c$为光速），$\Delta t=(26.5 - 16.5)$年。
解：$\Delta t=26.5−16.5 = 10$（年）。
2. 然后计算见一面之后，牛郎至少要再等多少年才能与织女相会：
织女赶回再到地球，织女从地球返回织女星再到地球走过的距离$s = 2×26.5$光年，牛郎在地球上等待的时间$t=\frac{2s_{织}}{v}-\frac{s_{牛}}{v}$（此时$s_{牛}$对应的时间$t_{牛}$已经过去，从织女到达地球开始算）。
因为$v$相同，所以$t = 2×26.5−16.5$。
解：$t = 53 - 16.5=36.5$（年）。
答：牛郎要在地球上等$10$年才能见到织女；见一面之后，牛郎至少要再等$36.5$年才能与织女相会。