《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社七年级数学鲁教版54制》

例题3 已知$x^{2}+2(m-3)x+16$是完全平方式,求$m$的值。
 

答案： 【解析】：因为一个完全平方式可以表示为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab + b^2$，在$x^{2}+2(m - 3)x + 16$中，$a = x$，$b^2 = 16$，则$b=\pm4$，那么$2ab = 2× x×(\pm4)=\pm8x$，而原式中一次项为$2(m - 3)x$，所以$2(m - 3)x=\pm8x$，即$2(m - 3)=\pm8$。当$2(m - 3)=8$时，$m - 3 = 4$，解得$m = 7$；当$2(m - 3)= - 8$时，$m - 3 = - 4$，解得$m = - 1$。
【答案】：$m = 7$或$m = - 1$

7. 已知$4x^{2}-ax+9$是完全平方式,则$a$的值为 (C)
A.12
B.-12
C.$\pm 12$
D.$\pm 2$

答案： C

8. 若$x^{2}+kx+81$是一个完全平方式,则$k= $$\pm 18$。

答案： $\pm 18$

9. 若$x^{2}+8x+k^{2}$是个完全平方式,则$k= $$\pm 4$。

答案： $\pm 4$

10. 多项式$x^{2}+2(a+4)x+25$是完全平方式,则$a= $1 或 -9。

答案： 1 或 -9

考点4 因式分解的一般步骤
例题4 将下列各式因式分解。
(1)$-a^{2}+ax-ay$；
(2)$3a^{3}b-3ab^{3}$；
(3)$a(a-2)+1$；
(4)$x^{2}-3x+2$。
 

答案： 【解析】：
(1) 对于式子$-a^{2}+ax - ay$，观察发现每一项都含有公因式$-a$，根据提取公因式法，将公因式$-a$提出后，得到$-a(a - x + y)$。
(2) 式子$3a^{3}b-3ab^{3}$，先提取公因式$3ab$，得到$3ab(a^{2}-b^{2})$，而$a^{2}-b^{2}$符合平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m = a$，$n = b$，所以进一步分解为$3ab(a + b)(a - b)$。
(3) 对于$a(a - 2)+1$，先根据单项式乘多项式法则展开$a(a - 2)$得$a^{2}-2a$，则原式变为$a^{2}-2a + 1$，它符合完全平方公式$m^{2}-2mn + n^{2}=(m - n)^{2}$，这里$m = a$，$n = 1$，所以分解结果为$(a - 1)^{2}$。
(4) 对于$x^{2}-3x + 2$，利用$x^{2}+mx + n=(x + a)(x + b)$的形式，其中$m=-3$，$n = 2$，需要找到两个数$a$、$b$，使得$a + b=-3$，$ab = 2$，可得出$a=-1$，$b=-2$，所以分解结果为$(x - 1)(x - 2)$。
【答案】：
(1)$-a(a - x + y)$；
(2)$3ab(a + b)(a - b)$；
(3)$(a - 1)^{2}$；
(4)$(x - 1)(x - 2)$

11. (2024·四川模拟)把$2a^{2}-8$分解因式,结果正确的是 (C)
A. $2(a^{2}-4)$ B. $2(a-2)^{2}$
C. $2(a+2)(a-2)$ D. $2(a+2)^{2}$

答案： C

12. 把多项式$a^{3}-6a^{2}b+9ab^{2}$分解因式的结果是$a(a - 3b)^2$。

答案： $a(a - 3b)^2$

13. 将下列各式因式分解。
(1)$-2a^{3}+4a^{2}+2a^{4}$；
(2)$2a^{3}b-4a^{2}b^{2}+2ab^{3}$；
(3)$(x^{2}-1)^{2}-6(x^{2}-1)+9$；
(4)$a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}$；
(5)$(x-y)^{2}-4(x-y-1)$；
(6)$(a-2b)^{2}+8ab$。

答案： 解：
(1)$2a^2(a^2 - a + 2)$；
(2)$2ab(a - b)^2$；
(3)$(x + 2)^2(x - 2)^2$；
(4)$(a + b)^2(a - b)^2$；
(5)$(x - y - 2)^2$；
(6)$(a + 2b)^2$。

1. (2023杭州)分解因式：$4a^{2}-1= $ (A)
A.$(2a-1)(2a+1)$
B.$(a-2)(a+2)$
C.$(a-4)(a+1)$
D.$(4a-1)(a+1)$

答案： A

需要同时开放几个检票口(一)
旅客在车站候车室等候检票﹐并且排队的旅客按照一定的速度在增加,检票速度一定,当车站开放一个检票口时﹐需用半小时可将待检旅客全部检票进站﹔当同时开放两个检票口时，只需用十分钟便可让旅客全部检票进站.现有一班增开列车过境载客﹐必须在5分钟内使旅客全部检票进站,问此车站至少要同时开放几个检票口?分析:(1)仔细阅读后发现涉及的量有:原排队人数﹐旅客按照一定速度增加的人数.每个检票口检票的速度。
1. 设检票开始时，等候检票的旅客人数为$x$人，每个检票口每分钟检票$y$人，每分钟新增加旅客$z$人：
当开放一个检票口时，需用半小时（$30$分钟）可将待检旅客全部检票进站，则$x + 30z=30y$，即$x =$$30y - 30z$。
当同时开放两个检票口时，只需用十分钟便可让旅客全部检票进站，则$x + 10z=2×10y$，即$x =$$20y - 10z$。
2. 联立方程求解：
因为$x = 30y - 30z$且$x = 20y - 10z$，所以$30y - 30z=20y - 10z$。
移项可得：$30y−20y=30z - 10z$。
即$10y = 20z$，解得$y =$$2z$。
将$y = 2z$代入$x = 30y - 30z$，得$x =$$30×2z-30z=30z$。
3. 设需同时开放$n$个检票口，在$5$分钟内使旅客全部检票进站：
则$x + 5z\leqslant5ny$。
把$x = 30z$，$y = 2z$代入$x + 5z\leqslant5ny$中，得到$30z+5z\leqslant5n×2z$。
因为$z\gt0$（$z = 0$时情况特殊且不符合实际排队人数增加的情况，这里$z$表示每分钟增加的旅客人数），方程两边同时除以$z$，得到$30 + 5\leqslant10n$。
即$35\leqslant10n$，解得$n\geqslant$$3.5$。
因为$n$为检票口数量，$n\in N^+$，所以$n =$$4$。
答：此车站至少要同时开放$4$个检票口。

答案： 1. 设检票开始时，等候检票的旅客人数为$x$人，每个检票口每分钟检票$y$人，每分钟新增加旅客$z$人：
当开放一个检票口时，需用半小时（$30$分钟）可将待检旅客全部检票进站，则$x + 30z=30y$，即$x = 30y - 30z$。
当同时开放两个检票口时，只需用十分钟便可让旅客全部检票进站，则$x + 10z=2×10y$，即$x = 20y - 10z$。
2. 联立方程求解：
因为$x = 30y - 30z$且$x = 20y - 10z$，所以$30y - 30z=20y - 10z$。
移项可得：$30y−20y=30z - 10z$。
即$10y = 20z$，解得$y = 2z$。
将$y = 2z$代入$x = 30y - 30z$，得$x = 30×2z-30z=30z$。
3. 设需同时开放$n$个检票口，在$5$分钟内使旅客全部检票进站：
则$x + 5z\leqslant5ny$。
把$x = 30z$，$y = 2z$代入$x + 5z\leqslant5ny$中，得到$30z+5z\leqslant5n×2z$。
因为$z\gt0$（$z = 0$时情况特殊且不符合实际排队人数增加的情况，这里$z$表示每分钟增加的旅客人数），方程两边同时除以$z$，得到$30 + 5\leqslant10n$。
即$35\leqslant10n$，解得$n\geqslant3.5$。
因为$n$为检票口数量，$n\in N^+$，所以$n = 4$。
答：此车站至少要同时开放$4$个检票口。