《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社七年级数学鲁教版54制》

2. 下列代数式中,分式有____(只填序号)。
① $-2ab$
② $\frac{x}{y + 2}$
③ $\frac{1}{2}x + y$
④ $\frac{2x}{\pi + 2}$
⑤ $1-\frac{1}{x}$
⑥ $\frac{2}{x}-\frac{y}{2}$
⑦ $\frac{x^{2}-y^{2}}{x + y}$
⑧ $\frac{m^{2}-1}{m - 1}$
____②⑤⑥⑦⑧

答案： ②⑤⑥⑦⑧

3. 给定一列分式：$\frac{x^{3}}{y}$,$-\frac{x^{5}}{y^{2}}$,$\frac{x^{7}}{y^{3}}$,$-\frac{x^{9}}{y^{4}}$,…,(其中 $x\neq0$),根据你发现的规律,试写出第 $9$ 个分式____$\frac{x^{19}}{y^{9}}$。

答案： $\frac{x^{19}}{y^{9}}$

例题2 (1) 当 $x$$\neq5$时,分式 $\frac{x + 3}{x - 5}$ 有意义。
(2) 当 $x$$ = 5$时,$\frac{x + 3}{x - 5}$ 无意义。
(3) 当 $x$$ = - 5$时,$\frac{5-\vert x\vert}{x - 5}$ 的值为 $0$。
 

答案： 【解析】：
1. 对于分式$\frac{A}{B}$，其有意义的条件是分母$B\neq0$，无意义的条件是分母$B = 0$，值为$0$的条件是分子$A = 0$且分母$B\neq0$。
（1）在分式$\frac{x + 3}{x - 5}$中，根据分式有意义的条件，分母$x - 5\neq0$，解不等式$x - 5\neq0$，可得$x\neq5$。
（2）在分式$\frac{x + 3}{x - 5}$中，根据分式无意义的条件，分母$x - 5 = 0$，解方程$x - 5 = 0$，可得$x = 5$。
（3）在分式$\frac{5-\vert x\vert}{x - 5}$中，根据分式值为$0$的条件，需满足$\begin{cases}x - 5\neq0\\5-\vert x\vert = 0\end{cases}$。
解$5-\vert x\vert = 0$，移项可得$\vert x\vert = 5$，则$x=\pm5$。
又因为$x - 5\neq0$，即$x\neq5$，所以舍去$x = 5$，得到$x=-5$。
【答案】：（1）$\neq5$；（2）$ = 5$；（3）$ = - 5$

4. 当 $x$ 为任何实数时,下列分式中一定有意义的是(C)
A.$\frac{x + 2}{\vert x\vert}$
B.$\frac{x - 2}{x^{2}-4}$
C.$\frac{x^{2}+1}{x^{2}+3}$
D.$\frac{\vert x\vert}{(x + 3)^{2}}$

答案： C

5. (2023·常州) 若代数式 $\frac{x}{x^{2}-1}$ 的值是 $0$,则实数 $x$ 的值是(B)
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： B

6. (2024·广西模拟) 若分式 $\frac{x^{2}-1}{x + 1}$ 的值等于 $0$,则 $x$ 的值为(D)
A.$\pm1$
B.$0$
C.$-1$
D.$1$

答案： D

7. 要使分式 $\frac{x + 2}{x^{2}-1}$ 有意义,$x$ 的取值是(C)
A.$x\neq1$
B.$x\neq - 1$
C.$x\neq\pm1$
D.$x\neq\pm1$ 且 $x\neq - 2$

答案： C

例题3 将下列分式变形：
(1) $\frac{3xy}{x^{2}-2x}= \frac{(3y)}{x - 2}$；
(2) $\frac{x - y}{x + y}= \frac{(x^{2}-2xy + y^{2})}{x^{2}-y^{2}}(x\neq y)$。

答案： 【解析】：
(1) 对于$\frac{3xy}{x^{2}-2x}$，先对分母$x^{2}-2x$提取公因式$x$，可得$x^{2}-2x=x(x - 2)$。根据分式的基本性质，分母由$x(x - 2)$变为$x - 2$，是除以了$x$，那么分子$3xy$也应除以$x$，$3xy÷ x = 3y$，所以括号内应填$3y$。
(2) 因为$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$，根据分式的基本性质，分母由$x + y$变为$x^{2}-y^{2}$，是乘以了$x - y$，那么分子$x - y$也应乘以$x - y$，$(x - y)(x - y)=x^{2}-2xy + y^{2}$，所以括号内应填$x^{2}-2xy + y^{2}$。
【答案】：
(1) $3y$；
(2) $x^{2}-2xy + y^{2}$