《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社七年级数学鲁教版54制》

13. 如图所示,点O是△ABC的两条角平分线的交点,若∠BOC= 118°,则∠A的大小是__$ 56 ^ { \circ } $__.

答案： $ 56 ^ { \circ } $

14. 在△ABC中,$∠A= \frac{1}{2} ∠B= \frac{1}{3} ∠C,$则∠B= 60度.

答案： 60

15. (2023·辽宁)如图,在三角形纸片ABC中,AB= AC,∠B= 20°,点D是边BC上的动点,将三角形纸片沿AD对折,使点B落在点B'处,当B'D⊥BC时,∠BAD的度数为______.

15. (2023·辽宁)如图,在三角形纸片ABC中,AB= AC,∠B= 20°,点D是边BC上的动点,将三角形纸片沿AD对折,使点B落在点B'处,当B'D⊥BC时,∠BAD的度数为__$ 25 ^ { \circ } $或$ 115 ^ { \circ } $__.

答案： $ 25 ^ { \circ } $或$ 115 ^ { \circ } $

16. (8分)如图,已知∠A= ∠F,∠C= ∠D,试说明BD//CE.
证明：$ \because \angle A = \angle F $，
$\therefore$ $A C // D F $。
$\therefore$ $\angle C = \angle C E F $。
$\because \angle C = \angle D $，
$\therefore$ $\angle D = \angle C E F $。
$\therefore$ $B D // C E $。

答案： 证明：$ \because \angle A = \angle F $，
$ \therefore A C // D F $。
$ \therefore \angle C = \angle C E F $。
$ \because \angle C = \angle D $，
$ \therefore \angle D = \angle C E F $。
$ \therefore B D // C E $。

17. (8分)(湖北中考)如图所示,直线EF分别与直线AB,CD交于点E,F. EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,且EM//FN.
求证：AB//CD.

证明：$ \because E M $平分$ \angle B E F $，$ F N $平分$ \angle C F E $，
$ \therefore \angle M E F = \frac { 1 } { 2 } \angle B E F $。
$ \angle N F E = \frac { 1 } { 2 } \angle C F E $。
$ \because E M // F N $，
$ \therefore \angle M E F = \angle N F E $。
$ \therefore \frac { 1 } { 2 } \angle B E F = \frac { 1 } { 2 } \angle C F E $。
即$ \angle B E F = \angle C F E $。
$ \therefore A B // C D $。

答案： 证明：$ \because E M $平分$ \angle B E F $，$ F N $平分$ \angle C F E $，
$ \therefore \angle M E F = \frac { 1 } { 2 } \angle B E F $。
$ \angle N F E = \frac { 1 } { 2 } \angle C F E $。
$ \because E M // F N $，
$ \therefore \angle M E F = \angle N F E $。
$ \therefore \frac { 1 } { 2 } \angle B E F = \frac { 1 } { 2 } \angle C F E $。
即$ \angle B E F = \angle C F E $。
$ \therefore A B // C D $。

18. (8分)如图所示,∠1= ∠2,∠3= ∠B,FG⊥AB于点G,猜想CD与AB的位置关系,并证明你的猜想.


CD与AB的位置关系是$ C D \perp A B $。
证明：$ \because \angle 3 = \angle B $，

$ \therefore D E // B C $。

$ \therefore \angle 1 = \angle D C B $。

$ \because \angle 1 = \angle 2 $，

$ \therefore \angle 2 = \angle D C B $。

$ \therefore C D // G F $。

$ \because G F \perp A B $，

$ \therefore C D \perp A B $。

答案： $ C D \perp A B $。
证明：$ \because \angle 3 = \angle B $，
$ \therefore D E // B C $。
$ \therefore \angle 1 = \angle D C B $。
$ \because \angle 1 = \angle 2 $，
$ \therefore \angle 2 = \angle D C B $。
$ \therefore C D // G F $。
$ \because G F \perp A B $，
$ \therefore C D \perp A B $。

19. (8分)【探究发现】如图1所示,在△ABC中,点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点. 试猜想∠P与∠A之间的数量关系,并证明你的猜想.

【迁移拓展】
如图2所示,在△ABC中,点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点,即$∠PBC= \frac{1}{n} ∠ABC,$$∠PCD= \frac{1}{n} ∠ACD,$试猜想∠P与∠A之间的数量关系,并证明你的猜想.
【应用创新】
如图3所示,AD,BE相交于点C,∠ABC,∠CDE,∠ACE的角平分线交于点P,∠A= 35°,∠E= 25°,则∠BPD= $ \frac { 1 } { 2 } ( \angle A + \angle E ) = 30 ^ { \circ } $.

答案： 【探究发现】
$\begin{aligned}\angle P&=\angle PCD-\angle PBC\\&=\frac{1}{2}\angle ACD-\frac{1}{2}\angle ABC\\&=\frac{1}{2}(\angle ACD-\angle ABC)\\&=\frac{1}{2}\angle A\end{aligned}$
$ \therefore \angle P = \frac { 1 } { 2 } \angle A $。
【迁移拓展】
$\begin{aligned}\angle P&=\angle PCD-\angle PBC\\&=\frac{1}{n}\angle ACD-\frac{1}{n}\angle ABC\\&=\frac{1}{n}(\angle ACD-\angle ABC)\\&=\frac{1}{n}\angle A\end{aligned}$
$ \therefore \angle P = \frac { 1 } { n } \angle A $。
【应用创新】
$ \frac { 1 } { 2 } ( \angle A + \angle E ) = 30 ^ { \circ } $