《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社七年级数学鲁教版54制》

2. (湖南中考)下列各选项中因式分解正确的是 (D)
A.$x^{2}-1= (x-1)^{2}$
B.$a^{3}-2a^{2}+a= a^{2}(a-2)$
C.$-2y^{2}+4y= -2y(y+2)$
D.$m^{2}n-2mn+n= n(m-1)^{2}$

答案： D

3. (2023·河北)若$k$为任意整数,则$(2k+3)^{2}-4k^{2}$的值总能 (B)
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除

答案： B

4. 若$m+n= 3$,则$2m^{2}+4mn+2n^{2}-6$的值为 (A)
A.12
B.6
C.3
D.0

答案： A

5. 三角形的三边长分别为$a$,$b$,$c$,且满足$a^{4}-b^{4}+b^{2}c^{2}-a^{2}c^{2}= 0$,则该三角形的形状是 (C)
A.任意等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.任意直角三角形

答案： C

6. 分解因式：$m^{2}-25= $$(m - 5)(m + 5)$。

答案： $(m - 5)(m + 5)$

7. 因式分解：$a^{3}-ab^{2}= $$a(a + b)(a - b)$。

答案： $a(a + b)(a - b)$

8. 因式分解：$mx^{2}-2mx+m= $$m(x - 1)^2$。

答案： $m(x - 1)^2$

9. 分解因式：$b^{2}+c^{2}+2bc-a^{2}= $$(b + c + a)(b + c - a)$。

答案： $(b + c + a)(b + c - a)$

10. (2024·湖南模拟)若$x^{2}+x= 1$,则$3x^{4}+3x^{3}+3x+1$的值为______4。

答案： 4

11. 将下列各式因式分解。
(1)$-\frac {16}{9}a^{2}+\frac {81}{4}b^{2}$；
(2)$16(a-b)^{2}-9(a+b)^{2}$；
(3)$\frac {4}{9}a^{2}-\frac {4}{3}ab+b^{2}$；
(4)$(a+1)(a+2)+\frac {1}{4}$；
(5)$m^{4}-2m^{2}+1$；
(6)$16x^{2}-(x^{2}+4)^{2}$。

答案： 解：
(1)$(\frac{9}{2}b + \frac{4}{3}a)(\frac{9}{2}b - \frac{4}{3}a)$；
(2)$(7a - b)(a - 7b)$；
(3)$(\frac{2}{3}a - b)^2$；
(4)$(a + \frac{3}{2})^2$；
(5)$(m + 1)^2(m - 1)^2$；
(6)$-(x + 2)^2(x - 2)^2$。

12. 利用因式分解进行简便计算：
(1)$2022^{2}-4044×2020+2020^{2}$；
(2)$1.2^{2}+2×1.2×6.7+6.7^{2}-2.1^{2}$。

答案： 解：
(1)原式$=2022^2 - 2×2022×2020 + 2020^2 =(2022 - 2020)^2 = 2^2 = 4$；
(2)原式$=(1.2 + 6.7)^2 - 2.1^2 =(7.9 + 2.1)(7.9 - 2.1) =10×5.8 =58$。

13. 已知$x+y= 6$,$xy= -3$。
求：(1)$(x-y)^{2}$；
解：$\because (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，$\therefore (x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy$。$\therefore (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy =$$36 - 4×(-3) = 48$。
(2)$x^{3}y+2x^{2}y^{2}+xy^{3}$。
解：$x^3y + 2x^2y^2 + xy^3 = xy(x^2 + 2xy + y^2) = xy(x + y)^2$。$\because x + y = 6$，$xy = -3$，$\therefore$ 原式$=$$-3×36 = -108$。

答案： 解：
(1)$\because (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，$\therefore (x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy$。$\therefore (x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy =36 - 4×(-3) = 48$。
(2)$x^3y + 2x^2y^2 + xy^3 = xy(x^2 + 2xy + y^2) = xy(x + y)^2$。$\because x + y = 6$，$xy = -3$，$\therefore$ 原式$= -3×36 = -108$。

14. 阅读下列题目的解题过程：
已知$a$,$b$,$c$为$\triangle ABC$的三边,且满足$a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}= a^{4}-b^{4}$,试判断$\triangle ABC$的形状。
解：$\because a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}= a^{4}-b^{4}$(A),
$\therefore c^{2}(a^{2}-b^{2})= (a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})$(B)。
$\therefore c^{2}= a^{2}+b^{2}$(C)。
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形。
问：(1) 上述解题过程,从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：C；
(2) 错误的原因为：没有考虑$a = b$的情况。；
(3) 本题正确的结论为：$\triangle ABC$是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。。

答案：
(1)C
(2)没有考虑$a = b$的情况。
(3)$\triangle ABC$是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。