《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社七年级数学鲁教版54制》

 如何分马
从前有一位老年人,在他临终时,三个儿子围在床前。他对儿子们说：“我有十七匹马留给你们三个人分。分马的时候,老大呢,出力最多,得总数的二分之一；老二嘛,得总数的三分之一；老三最小,你呀,就拿总数的九分之一。”勉强说完这几句,老人就去世了。三兄弟执行遗嘱时,一致认为这些马是父亲生前心爱之物,决不能将其中任何一匹劈成几块瓜分。但是遗嘱又要完全照办,如何是好呢？ 

答案： 解：先借一匹马，此时马的总数为$17 + 1 = 18$匹。
老大分得：$18×\frac{1}{2}=9$匹；
老二分得：$18×\frac{1}{3}=6$匹；
老三分得：$18×\frac{1}{9}=2$匹；
三人共分得$9 + 6 + 2 = 17$匹，把借的那匹马还回去。
我的收获：在解决问题时，当直接按给定条件计算不方便时，可以通过巧妙地借数（或其他量）来辅助计算，最后再将借的数还回去，从而顺利解决问题。这种方法体现了数学思维的灵活性和创造性。

5.已知等腰三角形中的一个内角为50°,则这个等腰三角形的顶角为(C)
A.50°
B.80°
C.50°或80°
D.50°或100°

答案： C

6.(2023·重庆)如图,在△ABC中,AB= AC,AD是BC边的中线,若AB= 5,BC= 6,则AD的长度为____4。

答案： 4

7.(黑龙江中考)如图所示,在△ABC中,AB= AC,点D在AC上,且BD= BC= AD,则∠A= 36度。

答案： 36

8.(2023·江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α= 60°,点B,C表示的刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为____2____cm。

答案： 2

9.(2022·云南)已知△ABC是等腰三角形。若∠A= 40°,则△ABC的顶角度数是$40^{\circ}$或$100^{\circ}$。

答案： $40^{\circ}$或$100^{\circ}$

10.如图所示,锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB= OC.求证：△ABC是等腰三角形。


证明：$\because OB = OC$，
$\therefore ∠OBC = ∠OCB$。
$\because BD⊥AC$，$CE⊥AB$，
$\therefore ∠BEC = ∠CDB = 90^{\circ}$。
$\because ∠BOE = ∠COD$，
$\therefore ∠EBO = ∠DCO$。
$\therefore ∠ABC = ∠ACB$。
$\therefore AB = AC$。
$\therefore △ABC$是等腰三角形。

答案： 证明：$\because OB = OC$，
$\therefore ∠OBC = ∠OCB$。
$\because BD⊥AC$，$CE⊥AB$，
$\therefore ∠BEC = ∠CDB = 90^{\circ}$。
$\because ∠BOE = ∠COD$，
$\therefore ∠EBO = ∠DCO$。
$\therefore ∠ABC = ∠ACB$。
$\therefore AB = AC$。
$\therefore △ABC$是等腰三角形。

11.(2024·重庆模拟)如图所示,在△ABC中,AB= AC,AD⊥BC于点D.
(1)若∠C= 42°,求∠BAD的度数；
解：$\because AB = AC$，$AD⊥BC$于点$D$，$\therefore ∠BAD = ∠CAD$，$∠ADC = 90^{\circ}$。又$\because ∠C = 42^{\circ}$，$\therefore ∠BAD = ∠CAD = 90^{\circ} - 42^{\circ} = 48^{\circ}$。
(2)若点E在边AB上,EF//AC交AD的延长线于点F.求证：AE= FE.
证明：$\because AB = AC$，$AD⊥BC$于点$D$，$\therefore ∠BAD = ∠CAD$。$\because EF// AC$，$\therefore ∠F = ∠CAD$。$\therefore ∠BAD = ∠F$。$\therefore AE = FE$。

答案： 解：
(1)$\because AB = AC$，$AD⊥BC$于点$D$，
$\therefore ∠BAD = ∠CAD$，$∠ADC = 90^{\circ}$。
又$\because ∠C = 42^{\circ}$，
$\therefore ∠BAD = ∠CAD = 90^{\circ} - 42^{\circ} = 48^{\circ}$。
(2)证明：$\because AB = AC$，$AD⊥BC$于点$D$，
$\therefore ∠BAD = ∠CAD$。
$\because EF// AC$，
$\therefore ∠F = ∠CAD$。
$\therefore ∠BAD = ∠F$。
$\therefore AE = FE$。

12.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠B= 30°,AD平分∠CAB.
(1)求∠CAD的度数；
解：$\because$在$Rt△ABC$中，$∠ACB = 90^{\circ}$，$∠B = 30^{\circ}$，$\therefore ∠CAB = 60^{\circ}$。
又$\because AD$平分$∠CAB$，
$\therefore ∠CAD = \frac{1}{2}∠CAB =$$30^{\circ}$，
即$∠CAD =$$30^{\circ}$。
(2)延长AC至E,使EC= AC,求证：DA= DE.
证明：$\because ∠ACD + ∠ECD = 180^{\circ}$，
且$∠ACD = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ECD = 90^{\circ}$。
$\therefore ∠ACD = ∠ECD$。
在$△ACD$与$△ECD$中，
$\because \left\{\begin{array}{l} AC = EC,\\ ∠ACD = ∠ECD,\\ CD = CD,\end{array}\right.$
$\therefore △ACD\cong △ECD(SAS)$。
$\therefore DA =$$DE$。

答案： 解：
(1)$\because$在$Rt△ABC$中，$∠ACB = 90^{\circ}$，$∠B = 30^{\circ}$，$\therefore ∠CAB = 60^{\circ}$。
又$\because AD$平分$∠CAB$，
$\therefore ∠CAD = \frac{1}{2}∠CAB = 30^{\circ}$，
即$∠CAD = 30^{\circ}$。
(2)证明：$\because ∠ACD + ∠ECD = 180^{\circ}$，
且$∠ACD = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ECD = 90^{\circ}$。
$\therefore ∠ACD = ∠ECD$。
在$△ACD$与$△ECD$中，
$\because \left\{\begin{array}{l} AC = EC,\\ ∠ACD = ∠ECD,\\ CD = CD,\end{array}\right.$
$\therefore △ACD\cong △ECD(SAS)$。
$\therefore DA = DE$。

13.在△ABC中,AD平分∠BAC,E是BC上一点,BE= CD,EF//AD交AB于F点,交CA的延长线于P,CH//AB交AD的延长线于点H,
(1)求证：△APF是等腰三角形；
(2)猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想。

答案：
证明：
(1)如图所示。
$\because EF// AD$，
$\therefore ∠1 = ∠4$，$∠2 = ∠P$。
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠1 = ∠2$。
$\therefore ∠4 = ∠P$。
$\therefore AF = AP$，
即$△APF$是等腰三角形。

(2)$AB = PC$。
理由如下：
$\because CH// AB$，
$\therefore ∠5 = ∠B$，$∠H = ∠1$。
$\because EF// AD$，
$\therefore ∠1 = ∠3$。
$\therefore ∠H = ∠3$。
在$△BEF$和$△CDH$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠5 = ∠B,\\ ∠H = ∠3,\\ BE = CD,\end{array}\right.$
$\therefore △BEF\cong △CDH(AAS)$，
$\therefore BF = CH$。
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠1 = ∠2$。
$\therefore ∠2 = ∠H$。
$\therefore AC = CH$。
$\therefore AC = BF$。
$\because AB = AF + BF$，$PC = AP + AC$，
$\therefore AB = PC$。